Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．E是CC₁的中点，
（1）求锐二面角D-B₁E-B的余弦值．
（2）试判断AC与面DB₁E的位置关系，并说明理由．
（3）设M是棱AB上一点，若M到面DB₁E的距离为

21

7

，试确定点M的位置．

Answer 1

分析：根据题意，建立空间坐标系得出各点的坐标，给出各点的坐标，
（1）求出两个平面的法向量，利用公式求税二面角的余弦；
（2）利用向量证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，再结合线不在面内得出线面平行；
（3）点到面的距离可由转化为此点与面内一点对应的向量在面的法向量上的投影长，故设出点M的坐标，用点M的坐标表示出此投影长，令其为

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7

，解出点M的坐标，即可求出点M的位置

解答：解：建如图的立空间坐标系可得：D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，2，0），B（1，2，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），C₁（0，2，1），B₁（1，2，1），由中点坐标公式可得E（0，2，

1

2

），
（1）设面DB₁E的法向量是

n1

=(x，y，z)，又

DE

=（0，2，

1

2

），

DB1

=（1，2，1），由

n1 • DE =0  n1 • DB1 =0

得

2y+ 1 2 z=0 x+2y+z=0

，令y=1，得x=2，z=-4
故有

n1

=(2，1，-4)，同理可求得面BB₁E的法向量为

n2

=(0，1，0)，故两平面所成的税二面角的余弦cosθ=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

1

21

（2）由题意，AC的方向向量的坐标是

AC

=（-1，2，0），又面DB₁E的法向量

n1

=(2，1，-4)，由于

AC

•

n1

=-2+2=0，故

AC

⊥

n1

，又AC不在面DB₁E内，故AC与面DB₁E的位置关系是平行．
（3）M是棱AB上一点，
设M（1，x，0），则

MD

=（-1，-X，0），
由（1）面DB₁E的法向量

n1

=(2，1，-4)，M到面DB₁E的距离即向量

MD

在DB₁E的法向量

n1

上的投影长度，
故有d=|

n1 •  MD

| n1 |

|=|

-2-X

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=|

21

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|即得|2+x|=3解得x=1，或x=-1（由图知，此结论舍），
故M是AB的中点时，符合题意．

点评：本题考查二面角的平面角及求法，解题的关键是建立空间坐标系，利用向量法求证线面垂直，线面平行，以及求面面夹角，利用空间向量求解立体几何中的线面，面面位置关系及求线面角，二面角，是空间向量的重要应用，引入空间向量，大大降低了求解立体几何问题时的问题时的推理难度，使得思考变得容易，但此法也有不足，从解题过程可以看出，用空间向量法解立体几何问题，运算量不少，计算时要严谨，莫因运算出错导致解题失败．本题中将求点到面的距离的问题转化为求向量在面的法向量上的投影长，方法新颖，注意理解掌握．