Question

下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①命题“?x∈R，使得x³+1＜0”的否定是““?x∈R，都有x³+1＞0”．
②双曲线-=1（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且=0，则此双曲线的离心率为．
③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A-C）=1，则a、c、b成等比数列．
④已知，是夹角为120°的单位向量，则向量λ+与-2垂直的充要条件是λ=．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个

Answer 1

【答案】分析：①利用命题的否定，即可判断其真假；
②利用双曲线的离心率的性质可判断其正误，
③将cosB=-cos（A+C）代入已知，整理可得sinAsinC=sin²B，再利用正弦定理可判断③的正误；
④利用向量的坐标运算与向量垂直的性质可判断其正误．
解答：解：①命题“?x∈R，使得x³+1＜0”的否定是““?x∈R，使得+1≥0”，故①错误；
②，依题意，F（c，0），A（-a，0），∵点B（0，b），
∴=（a，b），=（c，-b），
∵•=0，
∴ac-b²=0，而b²=c²-a²，
∴c²-ac-a²=0，两端同除以a²得：e²-e-1=0，
解得e=或e=（舍去），
故②正确；
③，在△ABC中，∵A+B+C=180°，
∴cosB=-cos（A+C），
∴原式化为：cos2B-cos（A+C）+cos（A-C）=1，
∴cos（A-C）-cos（A+C）=1-cos2B，
∵cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC，1-cos2B=2sin²B，
∴sinAsinC=sin²B，
由正弦定理得：b²=ac，故③a、c、b成等比数列错误；
④，∵，是夹角为120°的单位向量，
∴（λ+）⊥（-2）?（λ+）•（-2）=0?λ-2+（1-2λ）•=0?λ-2+（1-2λ）×1×1×（-）=0?2λ-2-=0，
∴λ=．故④正确；
综上所述，正确命题的个数是2个．
故选B．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定，向量的坐标运算，考查余弦定理与正弦定理的综合应用，考查双曲线的性质，综合性强，属于难题．