Question

【题目】已知数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…）

（Ⅰ）求证：数列{an-1}是等比数列；

（Ⅱ）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有bn+t≤t2，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用a1+a2+a3+…+an＝n﹣an，再写一式，两式相减，整理可得数列{an-1}是等比数列；（Ⅱ）先确定bn，再利用bn+1﹣bn，确定bn有最大值b3＝b4，从而对任意n∈N*，都有bnt≤t2，等价于对任意n∈N*，都有t2t成立，由此可求实数t的取值范围．

（Ⅰ）由题可知：，①

，②

②-①可得.

即：，又.

所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

∴.

由可得，

由可得.

所以，，

故有最大值.

所以，对任意，都有，等价于对任意，都有成立.

所以，

解得或.

所以，实数的取值范围是.