Question

【题目】已知函数f（x）=4tanxsin（ ﹣x）cos（x﹣ ）﹣ ．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣ ， ]上的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=4tanxsin（ ﹣x）cos（x﹣ ）﹣ ．

∴x≠kπ+ ，即函数的定义域为{x|x≠kπ+ ，k∈Z}，

则f（x）=4tanxcosx（ cosx+ sinx）﹣

=4sinx（ cosx+ sinx）﹣

=2sinxcosx+2 sin2x﹣

=sin2x+ （1﹣cos2x）﹣

=sin2x﹣ cos2x

=2sin（2x﹣ ），

则函数的周期T=

（2）解：由2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z，

得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z，

当k=0时，增区间为[﹣ ， ]，k∈Z，

∵x∈[﹣ ， ]，∴此时x∈[﹣ ， ]，

由2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z，

得kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，即函数的减区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z，

当k=﹣1时，减区间为[﹣ ，﹣ ]，k∈Z，

∵x∈[﹣ ， ]，∴此时x∈[﹣ ，﹣ ]，

即在区间[﹣ ， ]上，函数的减区间为∈[﹣ ，﹣ ]，增区间为[﹣ ， ]．

【解析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．（2）利用三角函数的单调性进行求解即可．