Question

（2011•广东模拟）已知函数f（x）=sin²（

x

2

+

π

12

）+

3

sin（

x

2

+

π

12

）cos（

x

2

+

π

12

）-

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）（x＞0）的图象与直线y=

1

2

交点的横坐标由小到大依次是x₁，x₂…，x_n，求数列{x_n}的前2n项的和．

Answer 1

分析：（I）利用辅助角公式对函数化简可得f（x）=sinx，结合正弦函数的性质可求．
（II）由正弦曲线的对称性、周期性可知

x1+x2

2

=

π

2

，

x3+x4

2

=2π+

π

2

，

x2n-1+x2n

2

=2(n-1)π+

π

2

，代入等差数列的前n项和公式可求．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1-cos(x+ π 6 )

2

+

3

2

sin(x+

π

6

)-

1

2

=

3

2

sin(x+

π

6

)-

1

2

cos(x+

π

6

)=sinx
所以f（x）的值域为[-1，1]
（Ⅱ）由正弦曲线的对称性、周期性可知

x1+x2

2

=

π

2

，

x3+x4

2

=2π+

π

2

，

x2n-1+x2n

2

=2(n-1)π+

π

2

∴x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=π+5π+…（4n-3）π
=（2n²-n）π

点评：本题主要考查了辅助角公式的应用，正弦函数的值域的求解，正弦函数的对称性及周期性的应用，还考查了数列的求和公式的运用．