Question

在(

x

-

2

3 x

)n的展开式中，已知第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．
（1）求展开式中所有项的系数之和及奇数项的二项式系数之和；
（2）求展开式中的所有有理项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项．
注：所涉及的系数均用数字作答．

Answer 1

分析：（1）利用第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求出n的值，即可通过x=1求展开式中所有项的系数之和及奇数项的二项式系数之和；
（2）通过二项式定理的通项公式，利用x的指数为0，求出展开式中的所有有理项；
（3）通过

C 10 r 2r≥ C 10 r-1 2R-1 C 10 r 2r≥ C 10 r+1 2r+1

求展开式中系数绝对值最大的项．

解答：（本题共3小题，第一小题（6分），第二小题（5分），第三小题（5分），共16分）
解：（1）由

C

4 n

(-2)4：

C

2 n

(-2)2=56：3，解得n=10…（2分）
所有项的系数之和为（1-2）¹⁰=1…（2分）
奇数项的二项式系数之和为2^10-1=512…（2分）
（2）因为通项：Tr+1=

C

r 10

(

x

)10-r(-

2

3 x

)r=(-2)r

C

r n

x5-

5r

6

…（2分）
当5-

5r

6

为整数，r可取0，6…（1分）
展开式是常数项，于是有理项为T₁=x⁵和T₇=13400…各（1分）
（3）设第r+1项系数绝对值最大，则

C r 10 2r≥ C r-1 10 2R-1 C r 10 2r≥ C r+1 10 2r+1

…（2分）
注：等号不写扣（1分）
解得

r≤ 22 3 r≥ 19 3

，于是r只能为7…（2分）
所以系数绝对值最大的项为T8=-15360x-

5

6

…（1分）

点评：本题是中档题，考查二项式定理系数的性质，通项公式的应用，考查计算能力．