Question

【题目】设函数.

（1）当，求函数的单调区间；

（2）当时，函数有唯一零点，求正数的值.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为;（2）

【解析】试题分析：（1）求导，易知：函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2），对m进行分类讨论，得到函数的最小值，函数有唯一零点即函数的最小值为零.

试题解析：

解：（1）依题意，知，其定义域为，

当时， ，

.

令，解得.

当 时， .此时单调递增；

当时, ,此时单调递减.

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由题可知， .

令，即，

因为，所以 (舍去)， .

当时， ， 在上单调递减，

当时， ， 在上单调递增，

所以的最小值为.因为函数有唯一零点，所以，

由即

可得，因为，所以，

设函数，因为当时该函数是增函数，

所以至多有一解.

因为当时， ，

所以方程的解为，即，解得.