Question

【题目】已知椭圆的长轴长为4，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，且点为线段的中点

（1）求椭圆的方程；

（2）设点为坐标原点，过右焦点的直线交椭圆于两点，（不在轴上），求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由已知条件推导出,设,由此能求出椭圆C的方程.

（2）设,由题意设直线AB的方程为,由,得关于的一元二次方程,由此韦达定理、点到直线距离公式等结合已知条件能求出面积的最大值.

解：由题知,长轴长为4,即①,

过点且斜率为的直线交椭圆于,

设,则,,

②,③.

②③得,

,

,

,

④

由①④解得,,故椭圆C的标准方程为

（2）由（1）知,则,所以右焦点

又因为过右焦点的直线交椭圆于两点,（不在轴上）,

设,由题意：

①当斜率不存时，设的方程为

则,

②当斜率存时，设的方程为,

由题意：

,消去并整理,得,

由韦达定理，得

点到直线的距离为,

设,

令,得,又因为,

当时，，函数在单调递减,

当时，，函数在单调递增,

所以在没有极值.

所以当斜率不存时有极大值为.

综上所述,面积的最大值为.