Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足：a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）通过公式bn=

Sn

n+c

构造一个新的数列{b_n}．若{b_n}也是等差数列，求非零常数c；
（Ⅲ）求f(n)=

bn

(n+25)•bn+1

（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知中等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为s_n，且满足a₂a₃=45，a₁+a₄=14，我们构造出关于首项和公差的方程，解方程求出首项和公差，即可得到数列{a_n}的通项公式．
（II）根据（1）的结论，可得到s_n的表达式，再根据 bn=

sn

n+c

，可得数列{b_n}的前3项，根据{b_n}也是等差数列，构造关于b的方程，即可求出非零常数c的值．
（Ⅲ）f(n)=

2n

(n+25)•2(n+1)

=

n

n2+26n+25

=

1

n+ 25 n +26

利用基本不等式求得其最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是等差数列，
∴a₂+a₃=a₁+a₄=14．又a₂a₃=45，
∴

a2=5 a3=9

，或

a2=9 a3=5

．（2分）
∵公差d＞0，∴a₂=5，a₃=9．
∴d=a₃-a₂=4，a₁=a₂-d=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=4n-3．（4分）
（Ⅱ）∵Sn=na1+

1

2

n(n-1)d=n+2n(n-1)=2n2-n，
∴bn=

Sn

n+c

=

2n2-n

n+c

．（6分）
∵数列{b_n}是等差数列，
∴2b_n+1=b_n+b_n+2．
∴2•

2(n+1)2-(n+1)

(n+1)+c

=

2n2-n

n+c

+

2(n+2)2-(n+2)

(n+2)+c

．
去分母，比较系数，得c=-

1

2

．（9分）
∴bn=

2n2-n

n- 1 2

=2n．（10分）
（Ⅲ）f(n)=

2n

(n+25)•2(n+1)

=

n

n2+26n+25

=

1

n+ 25 n +26

≤

1

36

．（12分）
当且仅当n=

25

n

，即n=5时，f（n）取得最大值

1

36

．（14分）

点评：本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中求等差数列的通项公式时，根据已知构造出关于首项和公差的方程，是最常用的办法．