Question

【题目】已知点 ，圆 ，过点 的直线l与圆 交于 两点，线段 的中点为 （ 不同于 ），若 ，则l的方程是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】圆C的标准方程可化为（x﹣2）2+y2=6，
所以圆心为C（2，0），半径为 ，
设M（x，y），则 =（x﹣2，y）， =（1﹣x，1﹣y），
由题设知 =0，故（x﹣2）（1﹣x）+y（1﹣y）=0，
即（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ．
M的轨迹是以点N（ ， ）为圆心， 为半径的圆．
由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的中垂线上，
又P在圆N上，从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为 ，所以l的斜率为﹣3，
故l的方程为y﹣1=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣4=0．
故答案为：3x+y﹣4=0．
过一定点的直线与圆相交所得的弦的中点轨迹应是一个圆在已知圆内部的一部分,再由 | O P | = | O M |得直线的斜率,求其方程.