【题目】已知椭圆
的上顶点为A，右焦点为F，O是坐标原点，
是等腰直角三角形，且周长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与AF垂直，且交椭圆于B，C两点，求
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）依题意求出
，
，
的值，即可求出椭圆方程；
（2）由（1）可得直线
的斜率，则可设直线
的方程为
，
联立直线与椭圆方程，利用根的判别式求出参数
的范围，设
，
，利用韦达定理及点到线的距离公式表示出
及点
到直线的距离
，则
利用导数求出面积的最值；
解：（1）在
中，
，
，则
，
因为是等腰直角三角形，且周长为
，
所以
，
，
，
得
，
，
因此椭圆的方程为.
（2）由（1）知
，
，则直线的斜率
，
因为直线与垂直，所以可设直线的方程为，
代入，得
，
则
，解得
，
所以
.
设，，则
，
，
.
又点到直线的距离
，
所以，.
令
，
则
，
令
，则
或
，
令
，则
或
.
因此
在
上是增函数，在
上是减函数，
在
上是增函数，在
上是减函数.
因为
，
，
，
所以当
时，取得最大值，
，
所以
，
因此
面积的最大值是.
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【题目】已知数列
，其中
．
（1）若满足
．
①当
，且
时，求
的值；
②若存在互不相等的正整数
，满足
，且
成等差数列，求
的值．
（2）设数列的前
项和为
，数列
的前n项和为
，
，，若，
，且
恒成立，求
的最小值．
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【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数
与烧开一壶水所用时间
的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.
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1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
，
.
（1）根据散点图判断，
与
哪一个更适宜作烧开一壶水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于
的回归方程；
（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量
成正比，那么为多少时烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
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【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的参数方程为
（
为参数）.
（1）求曲线，的普通方程；
（2）已知点
，若曲线，交于
，
两点，求
的值.
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【题目】在平面直角坐标系
中，已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，直线
过点且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于直线于点
，线段
的中垂线交于点
.记点的轨迹为曲线
.
（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；
（2）若直线
与曲线交于两点
、
，则在圆
上是否存在两点
、
，使得
，
？若存在，请求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.
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【题目】平面内与两定点
，
连线的斜率之积等于
的点的轨迹，加上
、
两点所成的曲线为
.若曲线与
轴的正半轴的交点为
，且曲线上的相异两点
、
满足
.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）求
面积
的最大值.
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【题目】已知函数
.
（1）求函数
的图象在
（
为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的
，均有
，则称
为
在区间
上的下界函数，为在区间上的上界函数.
①若
，求证：
为在
上的上界函数；
②若
，为在
上的下界函数，求实数
的取值范围.
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【题目】如图，已知抛物线E：
（
）与圆O：
相交于A，B两点，且
.过劣弧
上的动点
作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线
，
，相交于点M.
（1）求抛物线E的方程；
（2）求点M到直线
距离的最大值.
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