Question

【题目】设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2 ， a3+4构成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）令bn=lna3n+1 ， n=1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得

解得a2=2．

设数列{an}的公比为q，由a2=2，

可得 ．

又S3=7，可知 ，

即2q2﹣5q+2=0，

解得

由题意得q＞1，

∴q=2，

∴a1=1．故数列{an}的通项为an=2n﹣1

（2）解：由于bn=lna3n+1，n=1，2，

由（1）得a3n+1=23n，

∴bn=ln23n=3nln2，又bn+1﹣bn=3ln2，

∴{bn}是等差数列．

∴Tn=b1+b2++bn

=

=

= ．

故

【解析】（1）由{an}是公比大于1的等比数列，S3=7，且a1+3，3a2 ， a3+4构成等差数列，我们不难构造方程组，解方程组即可求出相关基本量，进而给出数列{an}的通项公式．（2）由bn=lna3n+1 ， n=1，2，…，我们易给出数列{bn}的通项公式，分析后可得：数列{bn}是一个等差数列，代入等差数列前n项和公式即可求出Tn
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．