Question

已知圆的方程和P点坐标，求经过P点的圆的切线方程．
（1）（x+2）²+（y-3）²=13，P（1，5）；
（2）x²+y²=9，P（3，4）．

Answer 1

分析：（1）先判断点P在圆上，再求切线的斜率k代入点斜式，最后化为一般式；
（2）先判断点P在已知的圆外，验证切线的斜率不存在时是否成立；当斜率存在时利用圆心到切线的距离等于半径，求出斜率再求切线方程．

解答：解：（1）由题意知点P在已知的圆上，
∵切线与圆心A（-2，3）和P（1，5）的连线垂直；
∴所求切线的斜率k=-

1

kAP

=-

1+2

5-3

=-

3

2

，代入点斜式得，y-5=-

3

2

（x-1），
即所求切线的方程为：3x+2y-13=0．

（2）由题意知点P在已知的圆外，分两种情况；
①当切线的斜率不存在时，直线方程x=3，符合题意；
②当切线的斜率存在时，设切线方程为y-4=k（x-3），
由圆心（0，0）到切线的距离等于半径得，3=

|-3k+4|

k2+1

，
解得，k=

7

24

，则切线方程为y-4=

7

24

（x-3），即7x-24y+75=0
故所求切线的方程为：x=3或7x-24y+75=0．

点评：本题考点是求过一点的圆的切线方程，应注意两点：一是先判断点与圆的位置关系，二是考虑切线的斜率是否存在问题；最后切线方程要化为一般式．