Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都相等，D、E分别是CC₁和AB₁的中点，点F在BC上且满足BF：FC=1：3．
（1）若M为AB中点，求证：BB₁∥平面EFM；
（2）求证：EF⊥BC；
（3）求二面角A₁-B₁D-C₁的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先连接EM、MF，根据中位线定理得到BB₁∥ME，再由 线面平行的判定定理得到BB₁∥平面EFM，即可．
（2）取BC的中点N，连接AN，再由正三棱柱的性质得到AN⊥BC，再由F是BN的中点可得到MF∥AN，从而得到MF⊥BC、ME⊥BC，再根据线面垂直的判定定理得到BC⊥平面EFM，进而可证明BC⊥EF．
解答：（1）证明：连接EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB₁的中点，
∴BB₁∥ME，又BB₁?平面EFM，∴BB₁∥平面EFM．
（2）证明：取BC的中点N，连接AN由正三棱柱得：AN⊥BC，
又BF：FC=1：3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，
∴MF⊥BC，而BC⊥BB₁，BB₁∥ME．
∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，
又EF?平面EFM，∴BC⊥EF．
（3）解  取B₁C₁的中点O，连结A₁O知，A₁O⊥面BCC₁B₁，由点O作B₁D的垂线OQ，垂足为Q，连结A₁Q，由三垂线定理，A₁Q⊥B₁D，故∠A₁QD为二面角A₁-B₁D-C的平面角，易得∠A₁QO=arctan
点评：本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查立体几何中的基本定理的应用．