Question

在学校的东南方有一块如图所示的地，其中两面是不能动的围墙，在边界OAB内是不能动的一些体育设施．现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？

Answer 1

分析：可建立如图所示的平面直角坐标系根据截距式写出AB所在直线方程x+y=20然后可设G点的坐标为（x，20-x）再根据题目中的要求可列出教学楼的面积的表达式y=-x²+6x+280  （0＜x＜20）然后利用一元二次函数求最值即可．

解答：解：如图建立坐标系，可知AB所在直线方程为，即x+y=20．
设G（x，y），由y=20-x可知G（x，20-x）．
∵楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地
∴教学楼的宽为39-5-（20-x），教学楼的长为25-5-x
∴教学楼的面积y=（25-5-x）[39-5-（20-x）]=-x²+6x+280  （0＜x＜20）
∵对称轴x=3∈（0，20）
∴当x=3时，S有最大值且最大值为-3²+6×3+280=289平方米．
故在线段AB上取点G（3，17），过点分别作墙的平行线，在离墙5米处确定矩形的另两个顶点H、I，则第四个顶点K随之确定，如此矩形地面的面积最大．

点评：本题主要考察利用一元二次函数求最值解决实际问题，较难．解题的关键是合理的建立坐标系将实际问题转化为数学问题再利用合理的数学模型解题！