Question

【题目】由单位正方形组成的无限格阵的每个单位正方形内都写有一个整数.若每个方格内的整数等于其上方和左方与其相邻的两个方格内的整数之和，且存在一行，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为，下面一行为，证明：对于每个正整数，上不能有个方格内的整数都是0.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

为叙述方便，在格阵中任取一列称为第0列，从第0列向左依次为第列，第列，从第0列向右依次为第1列，第2列，

记行的第列格内的数为.

由题设知， ①

且. ②

记函数.

首先证明一个引理.

引理：对确定的，可把整数集划分成至多个区间，使得在这个区间内分别单调，且在相邻两个区间内的单调性不同.

证明：对用数学归纳法.

当时，由式①，②知在上单调递增.结论成立.

假设当时结论成立。

现考虑的情形.

由归纳假设，可把划分成至多个区间，使得在这个区间内分别单调且在相邻两区间内单调性不同.

依次考虑每个区间.

由于在每个区间内单调，于是，或者可在区间中某两个整数间插入一个“分隔符”，使得这个区间被分成两个子区间，在每个子区间内取值同号，而两个子区间异号；或者在整个区间内取值同号（此时不插入分隔符），这样一共至多插入个分隔符，它们把划分成个区间，在每个区间内取值同号，在相邻两个区间内取值异号.

由式①知，若在区间上取值同号，则在同一个区间上单调，且单调性与在上取值的符号有关（正则增，负则减）.

于是，当，时，结论成立.

回到原题.

由引理，可把划分成至多个区间，使得在这个区间内分别单调，且在相邻两个区间内的单调性不同.

而在任一个单调区间内至多一处取0，则至少有个根.再由的定义知，行上至多有个方格内的整数是0.