Question

设函数R），函数f（x）的导数记为f'（x）．
（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，记，
求证：F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N*）；
（3）设关于x的方程f'（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2．
试问：是否存在正整数n₀，使得？说明理由．

Answer 1

解：（1）f'（x）=x²+ax+b，由已知可得a=﹣1，b=c=﹣3
（2），
当n=1时，；
当n=2时，；
当n≥3时，．
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜F（1）+F（2）+…+=（1++﹣﹣﹣ ）＜ （1++ ）=，
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N*）
（3）根据题设，可令f'（x）=（x﹣α）（x﹣β）．
∴f'（1）f'（2）=（1﹣α）（1﹣β）（2﹣α）（2﹣β）=，
∴，或，
所以存在n₀=1或2，使