Question

设对任意实数x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A．a＞0
• B．a＞

  1

  2

• C．a＞0或a＜-12
• D．a＞

  1

  4

Answer 1

分析：法一：y=x²+ax-3a的对称轴是x=-

a

2

．①当-

a

2

≥1时，x=-1时有最大值a＞

1

4

，与a≤-2相矛盾．②当-1＜-

a

2

＜1时，x=-1或x=1时，有最大值．x=-1有最大值a＞

1

4

，故

1

4

＜a＜2；当x=1有最大值1-2a＜0，a＞

1

2

，故

1

2

＜a＜2．③当-

a

2

≤-1，即a≥2时，x=1时有最大值1-2a＜0，a＞

1

2

，a≥2．由此能求出实数a的范围．
法二：设f（x）=x²+ax-3a，由对任意实数x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，知

f(-1)=1-a-3a＜0 f(1)=1+a-3a＜0

，由此能求出实数a的范围．

解答：解法一：y=x²+ax-3a的对称轴是x=-

a

2

．
①当-

a

2

≥1，即a≤-2时，x=-1离对称轴最远，而函数开口向上，所以有最大值，
其最大值是a＞

1

4

，与a≤-2相矛盾．
∴a∈∅；
②当-1＜-

a

2

＜1，即-2＜a＜2时，
x=-1或x=1时，有最大值．
由①知，x=-1有最大值时，其最大值是a＞

1

4

，故

1

4

＜a＜2；
当x=1有最大值时，其最大值是1-2a＜0，即a＞

1

2

，故

1

2

＜a＜2．
∴

1

2

＜a＜2；
③当-

a

2

≤-1，即a≥2时，
x=1时有最大值，
其最大值是1-2a＜0，a＞

1

2

，
∴a≥2．
综上所述，a＞

1

2

．
故选B．
解法二：设f（x）=x²+ax-3a，
∵对任意实数x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，
∴

f(-1)=1-a-3a＜0 f(1)=1+a-3a＜0

，
即

1-4a＜0 1-2a＜0

，
∴

a＞ 1 4 a＞ 1 2

，故a＞

1

2

．
故选B．

点评：本题考查函数的恒成立问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讲座思想的合理运用．