Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²|x-a|（a∈R）．
（1）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a≠0时，是否存在一点M（t，0），使f（x）的图象关于点M对称，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=x²|x-a|（a∈R），可对a分类讨论，根据函数奇偶性的定义即可判断；
（2）可假设存在一点M（t₀，0）使f（x）的图象关于点M对称，故f（t₀+x）=-f（t₀-x）；
分当t₀=a时，取x=a，有f（2a）=-f（0）=0，从而可得a=0，导出矛盾；
当t₀≠a时，取x=a-t₀，f（a）=-f（2t₀-a）=0，可解得t0=

a

2

，再取x=0，从而可得a=0，导出矛盾；于是可得结论．

解答：解：（1）a=0时，f（x）为偶函数；a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）不存在．
假设存在一点M₀（t₀，0）使f（x）的图象关于点M对称，
则对x∈R应恒有f（t₀+x）=-f（t₀-x）．
当t₀=a时，取x=a，
则f（2a）=-f（0）=0，∴4a²|a|=0，∴a=0这与a≠0矛盾．当t₀≠a时，
取x=a-t₀，
则f（a）=-f（2t₀-a）=0．∴（2t₀-a）²|2t₀-2a|=0，∵2t₀-2a≠0，∴t0=

a

2

．而t0=

a

2

时，取x=0，
则f(

a

2

)=-f(

a

2

)即f(

a

2

)=0．∴

a2

4

|

a

2

|=0⇒a=0这也与已知矛盾．
综上，不存在这样的点M．

点评：本题考查函数奇偶性的判断，难点在于对假设存在一点M₀（t₀，0）使f（x）的图象关于点M对称，得到f（t₀+x）=-f（t₀-x）后，对t₀分t₀=a与t₀≠a时的讨论分析，考查学生的分析与转化能力，属于难题．