Question

已知两点A（0，1），B（0，b），若抛物线x²=4y上存在点C使△ABC为等边三角形，则实数b=

5或-

1

3

．

Answer 1

分析：设点C的坐标为（x₀，y₀），由点在抛物线可得y₀=

x02

4

，由距离公式代入AB=AC=BC，解之可得．

解答：解：可知抛物线x²=4y的焦点为A（0，1），准线为y=-1，
设点C的坐标为（x₀，y₀），由点在抛物线可得y₀=

x02

4

由抛物线的定义可得AC=y₀-（-1）=

x02

4

+1，
要使△ABC为等边三角形，则必满足AB=AC=BC，
故可得（b-1）²=(

x02

4

+1)2=x02+(

x02

4

-b)2，
解之可得b=5，或b=-

1

3

故答案为：5或-

1

3

点评：本题考查抛物线的简单性质，涉及两点间的距离的应用和抛物线的定义，属中档题．