Question

已知数列{a_n}，a_n≥0，a₁=0，a_n+1²+a_n+1-1=a_n²（n∈N^•）．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．Tn=

1

1+a1

+

1

(1+a1)(1+a2)

+…+

1

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

．
求证：当n∈N^•时，
（Ⅰ）a_n＜a_n+1；
（Ⅱ）S_n＞n-2．

Answer 1

分析：（1）对于n∈N^•时的命题，考虑利用数学归纳法证明；
（2）由a_k+1²+a_k+1-1=a_k²，对k取1，2，…，n-1时的式子相加得S_n，最后对S_n进行放缩即可证得．

解答：（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当n=1时，因为a₂是方程x²+x-1=0的正根，所以a₁＜a₂．
②假设当n=k（k∈N^*）时，a_k＜a_k+1，
因为a_k+1²-a_k²=（a_k+2²+a_k+2-1）-（a_k+1²+a_k+1-1）=（a_k+2-a_k+1）（a_k+2+a_k+1+1），
所以a_k+1＜a_k+2．
即当n=k+1时，a_n＜a_n+1也成立．
根据①和②，可知a_n＜a_n+1对任何n∈N^*都成立．

（Ⅱ）证明：由a_k+1²+a_k+1-1=a_k²，k=1，2，…，n-1（n≥2），
得a_n²+（a₂+a₃+…+a_n）-（n-1）=a₁²．
因为a₁=0，所以S_n=n-1-a_n²．
由a_n＜a_n+1及a_n+1=1+a_n²-2a_n+1²＜1得a_n＜1，
所以S_n＞n-2．

点评：本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．