Question

【题目】已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点.的外接圆与抛物线的准线相切，外接圆的周长为.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知不与轴垂直的动直线与抛物线有且只有一个公共点，且分别交抛物线的准线和直线于、两点，试求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

(1)由的外接圆与抛物线的准线相切可得，外接圆的半径，从而可得p,进而可得抛物线方程;

(2)先设直线的方程为，由直线方程与抛物线方程联立可得，由判别式等于0，可得，再由题意求出点A、点B坐标，即可直接求的值.

（1）∵的外接圆的圆心必在线段的中垂线上

且外接圆与准线相切，外接圆的周长为

∴外接圆的半径 即

∴抛物线的方程为

（2）解法一：由题知直线的斜率存在且不为0 ∴可设：

由消去得

∵直线与抛物线只有一个公共点，

∴即

∵直线：与准线交于

∴即 同理

∴

解法二：由题知直线不与坐标轴垂直

∴可设：

由消去得

∵直线与抛物线只有一个公共点

∴即

∵直线：与准线交于

∴即

同理

∴

解法三：设切点为

则：

令得即

令得即

∴