Question

（2012•淄博一模）在平面直角坐标系内已知两点A（-1，0）、B（1，0），若将动点P（x，y）的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的

2

倍后得到点Q（x，

2

y），且满足

AQ

•

BQ

=1．
（Ⅰ）求动点P所在曲线C的方程；
（Ⅱ）过点B作斜率为-

2

2

的直线l交曲线C于M、N两点，且

OM

+

ON

+

OH

=

0

，试求△MNH的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，

2

y），表示出

AQ

=（x+1，

2

y），

BQ

=（x-1，

2

y），利用

AQ

•

BQ

=1，即可求得动点P所在曲线C的方程；
（Ⅱ）设出l：y=-

2

2

（x-1），与椭圆联立方程组

x2 2 +y2=1 y=- 2 2 (x-1)

，消去y，得2x²-2x-1=0，利用

OM

+

ON

+

OH

=

0

，确定H的坐标，计算|MN|，及H到直线l的距离即可求出△MNH的面积．

解答：解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，

2

y）．
依据题意，有

AQ

=（x+1，

2

y），

BQ

=（x-1，

2

y）．…（2分）
∵

AQ

•

BQ

=1，
∴x²-1+2y²=1．
∴动点P所在曲线C的方程是

x2

2

+y²=1 …（4分）
（Ⅱ）因直线l过点B，且斜率为k=-

2

2

，故有l：y=-

2

2

（x-1）…（5分）
联立方程组

x2 2 +y2=1 y=- 2 2 (x-1)

，消去y，得2x²-2x-1=0．…（7分）
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），可得

x1+x2=1 x1x2=- 1 2

，于是

x1+x2=1 y1+y2= 2 2

．…（8分）
又

OM

+

ON

+

OH

=

0

，得

OH

=（-x₁-x₂，-y₁-y₂），即H（-1，-

2

2

）…（10分）
∴|MN|=

1+k2

[(x1+x2)2-4x1x2]

=

3

2

2

，…（12分）
又l：

2

x+2y-

2

=0，则H到直线l的距离为d=

|- 2 +2×(- 2 2 )- 2 |

6

=

3

故所求△MNH的面积为S=

1

2

×

3

2

2

×

3

=

3 6

4

．…（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，计算弦长及点到直线的距离是关键．