Question

如图所示，空间等间距分布着方向相反的水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感强度均为B，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d，现有一边长为d、质量为m、电阻为R的正方形的均匀的导线框以与水平成θ角的初速度v₀（速度方向与磁场垂直）从如图位置开始运动，经过一段时间速度变为零．求：
（1）此过程线框受到安培力最大值．
（2）线框从如图位置到速度为零的过程中产生的焦耳热．
（3）线框从如图位置到速度为零的过程中线框所发生的位移．

Answer 1

分析：（1）根据运动的分解，将速度分解成水平与竖直方向，由法拉第电磁感应定律，即可求出左右两边切割产生的感应电动势，根据闭合电路欧姆定律与安培力公式可求出线框左右两边的安培力大小，而上下两边线框受到的安培力正好方向相反，因此线框刚运动时，受到的安培力最大；
（2）线框在运动过程中，因安培力做功，导致沿着水平方向的速度为零，则部分动能转化为热能，即可求解．
（3）由题意可知，线框竖直方向做竖直上抛运动，而水平方向受到安培力阻力，根据运动学公式与牛顿第二定律，分别求出两方向的位移，最后矢量法则进行位移的合成，确定位移的大小与方向．

解答：解：（1）线框运动分解成水平方向与竖直方向运动，竖直方向做竖直上抛运动，而水平方向受到安培阻力．
线框在竖直方向虽然切割磁感应线，产生感应电流，受到安培力作用，由于安培力大小相等，方向相反，因此竖直方向安培力为零．
则将速度分解，有水平速度为v₀cosθ，由法拉第电磁感应定律，因左右两边切割磁感应线，且感应电动势方向相同，则有E=2Bdv₀cosθ，
则两边安培力大小均为

2B2d2v0cosθ

R

，由于安培力方向相同，因此过程线框受到安培力最大值为

4B2d2v0cosθ

R

．
（2）线框在运动过程中，由于安培力做功，导致沿着水平方向的速度为零，则线框的部分动能转化为热能，
因此线框从如图位置到速度为零的过程中产生的焦耳热Q，
根据能量守恒定律，则有：

1

2

m(v0cosθ)2=Q
解之得：Q=

1

2

m

v

2 0

cos2θ
（3）线框在竖直方向做匀减速直线运动，由运动学公式，则有：H=

(v0sinθ)2

2g

；
在水平方向做变减速运动，同理，水平位移 x=

(v0cosθ)2

2× 4B2d2v0cosθ mR 2

=

mRv0cosθ

4B2d2

根据矢量合成法则，则有线框运动的位移为s=

(mRv0cosθ)2 16B4d4 + (v0sinθ)4 4g2

设位移与水平夹角为α，则有：tanα=

H

x

解得，α=actan

2v0B2d2sin2θ

mgRcosθ

答：（1）此过程线框受到安培力最大值为

4B2d2v0cosθ

R

．
（2）线框从如图位置到速度为零的过程中产生的焦耳热

1

2

m

v

2 0

cos2θ．
（3）线框从如图位置到速度为零的过程中线框所发生的位移大小为s=

(mRv0cosθ)2 16B4d4 + (v0sinθ)4 4g2

，而方向与水平方向的夹角为actan

2v0B2d2sin2θ

mgRcosθ

．

点评：考查法拉第电磁感应定律、左手定则与闭合电路欧姆定律的应用，理解焦耳定律的运用，学会运动的合成与分解．注意线框两边切割磁感应线产生的感应电动势的方向，以及两边的安培力大小计算．