Question

如图所示，在半径为R，质量分布均匀的某星球表面，有一倾角为Θ的 斜坡．以初速度v₀向斜坡水平抛出一个小球．测得经过时间t，小球垂直落在斜坡上的C点．求：
（1）小球落到斜坡上时的速度大小v；
（2）该星球表面附近的重力加速度g；
（3）求该星球的第一宇宙速度v?； 
（4）卫星在离星球表面为R的高空绕星球做匀速圆周运动的周期T．

Answer 1

分析：（1）小球垂直落在斜坡上的C点时速度的方向与竖直方向之间的夹角是θ，利用速度的合成与分解可以求出小球落到斜坡上的速度大小v；
（2）根据运动学的公式求出月球表面附近的重力加速度g；
（3）根据万有引力提供向心力，可得第一宇宙速度；
（4）星球表面的重力由万有引力提供，绕星球表面做匀速圆周运动的卫星的向心力由万有引力提供，写出公式即可求解．

解答：解：（1）小球做平抛运动，由速度的合成与分解图可知
sinθ=

v0

v

，
解得：v=

v0

sinθ

（2）由图可知 tanθ=

v0

vy

又v_y=g_星t  则得，g_星=

v0

t?tanθ

（3）根据万有引力提供向心力得，G

Mm

R2

=

mv2

R

GMm

R2

=mg星
则：v=

GM R

=

gR

=

v0R t?tanθ

（4）设星球质量为M，卫星质量为m，
则有：

GMm

(2R)2

=

m4π2?2R

T2

故：T2=

32π2R3

GM

=

32π2R3

R2g星

=

32π2Rt

v0

tanθ
故T=4π

2Rt v0 tanθ

答：（1）小球落到斜坡上时的速度大小为

v0

sinθ

；
（2）该星球表面附近的重力加速度为

v0

t?tanθ

；
（3）求该星球的第一宇宙速度为

v0R t?tanθ

； 
（4）卫星在离星球表面为R的高空绕星球做匀速圆周运动的周期为4π

2Rt v0 tanθ

．

点评：该题把平抛运动与万有引力相结合，有一定的难度．根据相关的知识和公式即可求解．属于中档题目，