Question

如图所示，一边长为L，质量为m，电阻为R的正方形金属框放置在倾角为θ的光滑绝缘斜面的底端，并用细线通过轻质定滑轮与质量为M的重物相连．磁场的方向垂直金属框平面，磁感应强度的大小只随y方向变化，规律为B=B₀+ky，k为大于零的常数．假设运动过程中金属框总有两条边与y轴平行，且金属框不转动，当金属框沿y轴方向运动距离为h时速度达到最大．不计空气阻力，斜面和磁场区域足够大，重力加速度为g．求：
（1）金属框的最大速度；
（2）金属框从开始运动到达到最大速度的过程中，金属框中产生的焦耳热；
（3）金属框从开始运动到达到最大速度的过程中，通过金属框横截面的电量．

Answer 1

分析：（1）金属框切有两条边切割磁感线，都产生感应电动势，最终的电动势大小为E=（B₂-B₁）Lv=kL²v，速度越大，电动势越大，电流越大，安培力F=（B₂-B₁）IL=KIL²，知安培力越大，对线框进行受力分析，知线框向上做加速度减小的加速运动，当加速度减小到0，速度达到最大．
（2）金属框从开始运动到达到最大速度的过程中，电流在变，所以求金属框中产生的焦耳热只能通过能量的角度．重物和线框组成的系统，动能增加，重力势能减小，内能增加，根据能量守恒求解．
（3）根据q=

.

I

△t=

△φ

R

，只要求出这段时间内磁通量的变化量即可求出．

解答：解：（1）达到最大速度时，金属框及物体的加速度为零，
有：Mg=T    
T=mgsin37°+F   
F=（B₂-B₁）IL=KIL²   
I=

(B2-B1)Lvm

R

=

kL2vm

R

解以上方程，可解得：
vm=

(M-msinθ)gR

k2L4

（2）设产生的焦耳热为Q，根据能量守恒定律，
有Mgh-mghsinθ=

1

2

(M+m)vm2+Q
得：Q=(M-msinθ)gh-

(M+m)(M-msinθ)2g2R2

2k4L8

（3）q=

.

I

△t=

△φ

△tR

△t=

△φ

R

△φ=△B?L²=khL²
解得：q=

kL2h

R

点评：解决本题的关键会对物体进行受力分析，判断物体的运动状况，以及能够熟练运用能量守恒定律进行解题．