Question

如图所示，边长为3L的等边三角形APC区域存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．D、E、F三点分别在PC、CA、AP边上，AF=PD=CE=L．现有一质量为m、电荷量为q的带正电离子（不计重力），从F点以速度v向三角形内射人．
（1）如果速度v方向与PC边平行，离子第一次到分界线就经过D点，则速度v的大小是多少？
（2）保持速度v的方向与PC边平行，改变速度v的大小，试求PC边上离子出射的可能范围（要求明确PC边上离子出射的范围左右端点分别与P点的距离）．
（3）假设三角形区域外存在磁感应强度大小同为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，且磁场区域足够大．改变速度的大小和方向（速度的方向均在纸平面内），使离子第一次、第二次到达分界线时依次经过D点和E点．求离子周期性运动的周期．

Answer 1

分析：（1）画出粒子在磁场中的运动轨迹，根据几何关系确定粒子圆周运动的半径与三角形区域的关系；
（2）同样是根据粒子在磁场中匀速圆周运动的临界轨迹，利用几何关系求出粒子圆周运动的半径，从而求出粒子在PC边上射出的可能范围；
（3）根据粒子在磁场中做圆周运动，能使离子第一次、第二次达到分界线时依次经过D点和E点，根据左手定则由磁场方向确定粒子的绕行方向，从而作出粒子满足题意的运动轨迹，再根据几何关系求出粒子完成一个周期性运动所需时间即可．

解答：解：（1）带是离子的运动轨迹如图所示，可得圆周运动的半径为：
r=

FD

2

=

(2L)2-L2

2

=

3

2

L
根据洛伦兹力提供向心力：
qvB=m

v2

r

可得：v=

qBr

m

=

3 qBL

2m

（2）带电离子从PC边射出的两条临界运动轨迹如图所示：
由图可知离子在PC边上出射的左端点为D，得：PD=L；
离子在PC边上出射的右端点为G，得：PG=L+r₂
由几何关系可得：r2=FD=

(2L)2-L2

=

3

L
所以可得：PG=(

3

+1)L
PC边上离子出射的可能范围为D点的右侧到G点之间；
（3）连接DEF，可得△DEF是等边三角形，当离子沿∠DFE的角平分线方向射入时，离子才能依次经过D点、E点，其运动各段轨迹依次是a、b、c、d、e、f回到F点，完成一个周期性运动，如图所示：
离子一个周期运动的路径为3个圆的周长，所以其运动的周期
T=

6πm

qB

答：（1）如果速度v方向与PC边平行，离子第一次到分界线就经过D点，则速度v的大小为

3 qBL

2m

（2）保持速度v的方向与PC边平行，改变速度v的大小，试求PC边上离子出射的可能范围为D到G点之间即距P点的距离范围为[L，

3

L]
（3）假设三角形区域外存在磁感应强度大小同为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，且磁场区域足够大．改变速度的大小和方向（速度的方向均在纸平面内），使离子第一次、第二次到达分界线时依次经过D点和E点．离子周期性运动的周期为

6πm

qB

．

点评：磁场中粒子受洛伦兹力提供圆周运动，关键是理解题目给出的条件，作出粒子运动的轨迹，利用几何关系求出粒子满足条件的运动半径，从而求出题目中的未知量，这是解决此类问题的关键和入手点．由几何关系得出物理量间的关系是一个基本能力．