Question

如图所示，竖直光滑的杆子上套有一滑块A，滑块通过细绳绕过光滑滑轮连接物块B，B又通过一轻质弹簧连接物块C，C静止在地面上．开始用手托住A，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，现将A由静止释放，当速度达到最大时，C也刚好同时离开地面，此时B还没有到达滑轮位置．已知：m_A=1.2kg，m_B=1kg，m_c=1kg，滑轮与杆子的水平距离L=0.8m．试求：
（1）弹簧的劲度系数
（2）A、B的最大速度是多少．

Answer 1

（1）当A速度达到最大时，即加速度等于0的时候，此时C也刚好同时离开地面，那么对B和C整体分析只有绳子拉力和重力，因此此时绳子拉力
T=m_Bg+m_Cg=2×10N=20N
A下降过程受力分析如图

当A的速度最大加速度等于0时，即Tcosθ=m_Ag，计算得：θ=53°
假设A下降的高度为h，则根据几何关系可得：tanθ=

L

h

，
带入得：h=

3

4

L=0.6m
根据几何关系如上图，A下降0.6m时定滑轮到A的距离为 s=

L

sin53°

=1m
那么绳子拉长的长度也就是B上升的高度就是h_B=s-L=0.2m
初始状态，绳子无张力，对B分析有kx₁=m_Bg，弹簧的压缩量 x₁=

10

k

末状态，C刚好离开地面，对C分析有kx₂=m_Cg，即弹簧的伸长量 x₂=

10

k

根据几何关系得：x₁+x₂=h_B
代入计算得：2×

10

k

=0.2
解得 k=100N/m
（2）由第二问可知，初状态弹簧压缩x₁=

10

k

=0.1m和末状态弹簧拉伸x₂=

10

k

=0.1m，弹簧弹性势能没有变化，那么在此过程中ABC和弹簧组成的系统机械能守恒，有
E_p=m_Bg（x₁+x₂）-m_Agh+

1

2

mB

v

2B

+

1

2

mA

v

2A

+E_p
有几何关系可得AB的速度关系有 v_Acosθ=v_B
带入计算得v_A=

2 15

3

m/s，v_B=

2 15

5

m/s，
答：
（1）弹簧的劲度系数为100N/m．
（2）A、B的最大速度分别是

2 15

3

m/s、

2 15

5

m/s．