Question

在如图甲所示的空间内，存在若垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B=

2πm

q

．一倾角为θ、长度足够长的光滑绝缘斜面放置在此空间．斜面上有一质量为m，带电量为-q的小球，从t=0时刻由静止开始沿斜面下滑，设第5s内小球不会离开斜面，在竖直方向上存在交替变化的匀强电场（取竖直向上为正）．如图乙所示，电场大小E0=

mg

q

，重力加速度为g．求：
（1）在5s内合外力对小球做的功及小球电势能变化量？
（2）若第19s内小球没有离开斜面，角θ应满足什么条件？

Answer 1

分析：小球第一秒内在斜面上做匀加速运动，而第二秒内重力与电场力相平衡，接着离开斜面在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动，恰好圆周运动的周期为1s，第三秒小球又在斜面上加速运动，第四秒又做圆周运动．就这样周而复始运动下去，第6秒小球离开斜面的距离就是做第三次圆周运动的直径．第19秒内小球受到重力、电场力与洛伦兹力，要使不离开斜面，则洛伦兹力小于或等于电场力与重力的合力，从而得出斜面倾角的表达式．

解答：解：设第一秒内小球在斜面上运动的加速度为a，
由牛顿第二定律得：（mg+qE）sinθ=ma…①
第一秒末的速度为：v=at₁… ②
在第二秒内：qE₀=mg…③
所以小球将离开斜面在上方做匀速圆周运动，则：
由向心力公式得：qvB=m

v2

R

…④
圆周运动的周期为：T=

2πm

qB

=1s…⑤
由题图可知，小球在奇数秒内沿斜面做匀加速运动，在偶数秒内离开斜面做完整的圆周运动．所以，第五秒末的速度为：v₅=a（t₁+t₃+t₅）=6g sinθ… ⑥
由动能定律得：W=

1

2

m

v

2 5

=

1

2

×m×(6gsinθ)2=18mg2sin2θ…⑦
由于洛伦兹力不做功，故小球在5s内沿斜面通过的位移：x=

1

2

a(3T)2
电场力做功：W_电=E₀qx?sinθ
代入数据解得：W电=9mg2sin2θ
即电场力做正功，电势能减小，减少量为9mg²sin²θ
（2）第19秒末的速度：v₁₉=a（t₁+t₃+t₅+t₄+…+t₁₉）=20g sinθ…⑧
小球未离开斜面的条件是：
qv₁₉B≤（mg+qE₀）cosθ…⑨
所以：θ≤arctan

1

20π

答：（1）在5s内合外力对小球做的功为18mg²sin²θ，小球电势能变化量为9mg²sin²θ；
（2）若第19s内小球没有离开斜面，角θ应满足θ≤arctan

1

20π

．

点评：本题分析可得：小球在奇数秒内沿斜面做匀加速运动，在偶数秒内离开斜面做完整的圆周运动，是电场强度方向时正时负导致．同时利用洛伦兹力提供向心力来求出圆弧轨道半径．