Question

（2013?龙江县三模）如图，板长为L间距为d的平行金属板水平放置，两板间所加电压大小为U，足够大光屏PQ与板的右端相距为a，且与板垂直．一带正电的粒子以初速度v₀沿两板间的中心线射入，射出电场时粒子速度的偏转角为37°．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计粒子的重力．

（1）求粒子的比荷q/m；
（2）若在两板右侧MN、光屏PQ间加如图所示的匀强磁场，要使粒子不打在光屏上，求磁场的磁感应强度大小B的取值范围；
（3）若在两板右侧MN、光屏PQ间仅加电场强度大小为E₀、方向垂直纸面向外的匀强电场．设初速度方向所在的直线与光屏交点为O点，取O点为坐标原点，水平向右为x正方向，垂直纸面向外为z轴的正方向，建立如图所示的坐标系，求粒子打在光屏上的坐标（x，y，z）．

Answer 1

分析：（1）粒子在平行板中运动时，受电场力作用做类平抛运动，根据运动的合成与分解，由射出电场时的速度方向可求出粒子的比荷；
（2）粒子进入磁场后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，根据半径公式求出半径与磁感应强度的关系，根据几何关系求出要使粒子不打在光屏上粒子做圆周运动的最大半径，从而求出磁场的最大磁感应强度；
（3）如果PQ空间仅加电场，根据运动的合成与分解进行处理，粒子在原来的x、y轴方向由于不受力，粒子将保持原有的匀速直线运动状态，在z轴方向由于受到电场力作用，粒子做初速度为0的匀加速直线运动，从而根据题意求出粒子打在屏上时的位置坐标．

解答：解：（1）设粒子射出电场时速度v的水平分量为v_x、竖直分量为v_y，
由于粒子在电场中做类平抛运动，故在水平方向分速度：
v_x=v₀，
水平方向的位移：
L=v_xt
所以粒子在电场中运动的时间t=

L

vx

=

L

v0

在y轴方向粒子做初速度为0的匀加速直线运动，加速度的大小为：
a=

F

m

=

qE

m

=

q U d

m

=

qU

md

所以vy=at=

qU

md

×

L

v0

=

qUL

mdv0

又如图：


 有：tan370=

vy

v0

=

qUL

mdv0

由此可得：粒子的比荷

q

m

=

3d v 2 0

4UL

；
（2）设磁场的磁感应强度为B时粒子不能打在光屏上，如图：

由几何知识有  Rsin37°+R≤a
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供和心力有：
 Bqv=

mv2

R

可得：R=

mv

qB

根据半径关系有：

mv

qB

(sin37°+1)≤a
即：B≥

8mv

5qa

由（1）问可得，v=

5

4

v0，

m

q

=

4UL

3d v 2 0

所以可得：B≥

8UL

3adv0

；   
（3）粒子从两板间以速度v射出后做匀变速曲线运动，沿x、y轴方向均做匀速直线运动，沿z轴方向做初速度为零的匀加速直线运动．由题意知：
坐标 x=0

如图速的反向延长线交中线于中点，故由几何关系有：
y=(

1

2

+a)tan370=

3(L+2a)

8

粒子射出平行板后在电场中运动的时间 t=

a

v0

，
在z轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，即在z轴方向的坐标：
z=

1

2

×

qE0

m

×t2=

3a2dE0

8UL

则粒子打在光屏上的坐标为(0，

3(L+2a)

8

，

3a2dE0

8UL

)；
答：（1）粒子的比荷

q

m

=

3d v 2 0

4UL

；
（2）若在两板右侧MN、光屏PQ间加如图所示的匀强磁场，要使粒子不打在光屏上，磁场的磁感应强度大小B的取值范围为B≥

8UL

3adv0

；
（3）若在两板右侧MN、光屏PQ间仅加电场强度大小为E₀、方向垂直纸面向外的匀强电场．设初速度方向所在的直线与光屏交点为O点，取O点为坐标原点，水平向右为x正方向，垂直纸面向外为z轴的正方向，建立如图所示的坐标系，粒子打在光屏上的坐标为(0，

3(L+2a)

8

，

3a2dE0

8UL

)．

点评：粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，解决此类问题的关键是作出临界时粒子的运动轨迹，再根据几何关系求出粒子运动半径的范围，从而求出末知量的取值范围．关于在电场中粒子偏转问题主要从运动的合成与分解入手求解．