Question

理论推证表明，取离星球中心无穷远处为引力势能的零势点时，以物体在距离星球中心为r处的引力势能可表示为：E_p=-G

Mm

r

．G为万有引力常数，M、m表示星球与物体的质量，而万有引力做的功等于引力势能的减少量．
现已知月球质量为M、半径为R，探月飞船的总质量为m．月球表面的重力加速度为g，万有引力常数G．要将探月飞船从月球表面发送到离月球表面高度为H的环月轨道消耗的能量至少为E．
阿聪同学提出了一种计算此能量E的方法：消耗的能量由两部分组成，一部分是克服万有引力做的功W_引（等于引力势能的增加量）；另一部分是飞船获得的动能E_K=

1

2

mv²（v为飞船在环月轨道上运行的线速度），最后算出：E=

1

2

mv²+W_引，请根据阿聪同学的思路算出最后的结果（不计飞船质量的变化及其他天体的引力和月球的自转等影响）．

Answer 1

分析：将飞船从月球表面发送到上述环月轨道的能量等于动能和势能的增加量，势能增加量根据公式E_p=-G

Mm

r

求解，根据万有引力提供向心力列式求解动能增加量．

解答：解：由题意知：
W_引=△Ep=-G

Mm

(R+H)

-[-G

Mm

R

]=

GMmH

R(R+H)

              
飞船在轨道上：
G

Mm

(R+H)2

=m

v2

R+H

…①
所以：

1

2

mv2=

GMm

2(R+H)

 …②
所发射飞船消耗的能量至少为：
E=

1

2

mv2+W引=

GMm

2(R+H)

+

GMmH

R(R+H)

=

GMm(R+2H)

2R(R+H)

…③
另解：飞船在未发射时，在月球表面：G

Mm

R2

=mg；
所以：GMm=mgR² …④
④代入③有：E=

mgR(R+2H)

2(R+H)

答：要将探月飞船从月球表面发送到离月球表面高度为H的环月轨道消耗的能量至少为

GMm(R+2H)

2R(R+H)

或者

mgR(R+2H)

2(R+H)

．

点评：本题关键是明确卫星的向心力来源、势能的表达式、动能的表达式，然后根据牛顿第二定律和机械能守恒定律列式求解．