Question

（2012?湖南一模）如图a所示，一个质量为m=2.0×10^-11kg，电荷量q=1.0×10^-5C的带负电粒子（重力忽略不计），从静止开始经U₁=100V电压加速后，垂直于场强方向进入两平行金属板间的匀强偏转电场．偏转电场的电压U₂=100V，金属板长L=20cm，两板间距d=1O

3

cm．
（1）粒子进人偏转电场时的速度v₀大小；

（2）粒子射出偏转电场时的偏转角θ；
（3）在匀强电场的右边有一个足够大的匀强磁场区域．若以粒子进入磁场的时刻为t=0，磁感应强度B的大小和方向随时间的变化如图b所示，图中以磁场垂直于纸面向内为正，建立如图直角坐标系（坐标原点为微粒进入偏转电场时初速度方向与磁场的交边界点）．求在t=

4π

3

×10-6s时粒子的位置坐标（X，Y）．（答案可以用根式表示，如用小数，请保留两位有效数字）

Answer 1

分析：（1）对于粒子在加速电场中运动过程，根据动能定理求解速度v₀大小；
（2）粒子在偏转电场中做类平抛运动，运用运动的分解，根据牛顿第二定律和运动学公式求解偏转角θ；
（3）粒子进入磁场后，则洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由牛顿第二定律和圆周运动的公式求出周期，由t=

θ

2π

T分析所给的时间内，轨迹对应的圆心角，画出轨迹，由几何知识求出坐标．

解答：解：（1）粒子在加速电场中，由动能定理得
  qU1=

1

2

m

v

2 0

解得v₀=1.0×10⁴m/s  
（2）粒子在偏转电场中做类平抛运动，有  a=

qU2

md

，
vy=at=a

L

v0

飞出电场时，速度偏转角的正切：tanθ=

vy

v0

=

U2L

2U1d

=

1

3

解得  θ=30°   
（3）进入磁场时粒子的速度为 v=

v0

cosθ

=

2 3

3

×104m/s
飞出电场时，偏转距离y=

1

2

at2=

U2L2

4U1d

=

1

10 3

m=

3

30

m
设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，半径为r，则由
  qvB=m

v2

r

得 r=

mv

qB

=

2 3

3

×10-2s
   T=

2πr

v

=

2πm

qB

=2π×10^-6s
依题意，在t=0到t=

2π

3

×10-6s内和

2π

3

×10-6s到

4π

3

×10-6s时间内在磁场中转过的圆弧所对的圆心角均为

2π

3

，粒子的运动轨迹如图所示，
由几何关系得X=2(r+rsin30°)=2

3

×10-2m≈3.5×10-2m
Y=y-2rcos30°=(

3

30

-

1

50

)m≈3.8×10-2m
答：（1）粒子进人偏转电场时的速度v₀大小是1.0×10⁴m/s；
（2）粒子射出偏转电场时的偏转角θ是30°；
（3）在t=

4π

3

×10-6s时粒子的位置坐标为（3.5×10^-2m，3.8×10^-2m）．

点评：本题中带电粒子在组成场中运动，要掌握三种场中的研究方法，难点是粒子在磁场中的运动，根据时间与周期的关系，确定圆心角，由几何知识求解坐标．