Question

如图，在倾角为θ＝30°的足够长的光滑绝缘斜面上，带正电的物块A和不带电绝缘物块B相距2L。mA=3mB，物块A位于斜面底端，斜面处于范围足够大、方向平行斜面向上的匀强电场中。将A、B同时由静止释放，两物块恰好在AB中点处发生第一次碰撞， A、B碰撞过程相互作用时间极短，已知A、B碰撞过程无机械能损失，且A的电荷没有转移，A、B均可视为质点，重力加速度为g。求： 

（1）第一次相碰前瞬间A、B的速度大小；

（2）第一次碰撞后，第二次碰撞前，A、B之间的最大距离； 

（3）若斜面长度有限，要使A、B仅能在斜面上发生两次碰撞，试求斜面长度的范围。

      

Answer 1

 ( 1 )对B由动能定理有：mB gLsinθ= mB v02   ……………………………………………………………2分

v0=

A、B的速度大小均为：       ………………… …………………………………………………………………2分

(2)选平行斜面向上，对第一次碰撞有：

mA v0 – mB v0= mA v1 +mB v2…………………………………………………………………1分

mAv02+ mBv02=mAv12+mBv22………………………………………………………  1分

解得：v1 =0，v2=2………………………………………………………  2分

撞后： A匀加速，B匀减速。加速度大小相等

由mBgsinθ= mB a有：      a = g………………………………………………………………………………  1分

设A、B第二次碰撞前距离为Δx1，有:

Δx1 = xB – xA = v2t – at2– at2………………………………………………………………………………  1分

当t =  = 2 时，Δx1有最大值2L……………………………………………………………………  1分

(3) 当Δx1=0时，A、B第二次碰撞，此时t = t1=

vA = at =2，vB=v2– at =0…………………………………………………………  1分

对第二次碰撞有：

mAvA+mBvB = mA v3 +mB v4……………………………………………………………  1分

mAvA 2+ mBvB2=mAv32+mBv42…………………………………………………………………  1分

解得：v3 =，v4=3…………………………………………………………… 1分

设A、B第三次碰撞前距离为Δx2，有:

Δx2 = xB – xA = v4t – at2 – (v3t+ at2)

当Δx2=0时，A、B即将第三次碰撞，此时t = t2=………………………………………………  1分

所以斜面的最小长度：xmin = L+ v2 t1– a t12    ……………………………………………………………  1分

xmin = 5L             ……………………………………………………………  1分

所以斜面的最大长度：xmax = L+ v2 t1– a t12+ v4 t2– a t22…………………………………………  1分

xmax = 13L            ……………………………………………………………  1分