Question

8．一半径为R的薄圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的中心轴线平行，筒的横截面如图所示．图中直径MN的两端分别开有小孔，筒可绕其中心轴线转动，圆筒的转动方向和角速度大小可以通过控制装置改变．一不计重力的负电粒子从小孔M沿着MN方向射入磁场，当筒以大小为ω₀的角速度转过90°时，该粒子恰好从某一小孔飞出圆筒．
（1）若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，求该粒子的荷质比和速率分别是多大？
（2）若粒子速率不变，入射方向在该截面内且与MN方向成30°角，则要让粒子与圆筒无碰撞地离开圆筒，圆筒角速度应为多大？

Answer 1

分析 （1）当筒以大小为ω₀的角速度转过90°时，该粒子恰好从某一小孔飞出圆筒，这说明粒子恰好在磁场中偏转90°，则粒子的轨道半径为R，由洛仑兹力提供向心力可以求出粒子的比荷和速率．
（2）当入射方向逆时针方向旋转30°时，相应的轨迹也将逆时针方向旋转30°，半径不变，画出轨迹．由几何关系，找到粒子在磁场中偏转的角度，求出时间t．但要注意的是在时间t内圆筒转过的角度就有多解的问题，分两种情况进行讨论：从M点穿出和从N点穿出的情况，列出时间相等的式子，可以求出圆筒的角速度．

解答 解：（1）若粒子沿MN方向入射，当筒转过90°时，粒子从M孔（筒逆时针转动）或N孔（筒顺时针转动）
  射出，如图，由轨迹1可知半径：r=R
  由 $qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$，粒子运动周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
  筒转过90°的时间：$t=\frac{\frac{π}{2}}{{ω}_{0}}=\frac{π}{2{ω}_{0}}$，又 $t=\frac{T}{4}=\frac{πm}{2qB}$
     联立以上各式得：荷质比$\frac{q}{m}=\frac{{ω}_{0}}{B}$，
      粒子速率：v=ω₀R
（2）若粒子与MN方向成30°入射，速率不变半径仍为R，作粒子轨迹2如图轨迹2圆心
  为O’，则四边形MO’PO为菱形，可得$∠MO′P=∠MOP=\frac{2π}{3}$，所以$∠NOP=\frac{π}{3}$
  则粒子偏转的时间：$t=\frac{\frac{2π}{3}}{2π}T=\frac{T}{3}$；又$T=\frac{2π}{{ω}_{0}}$；
      得：$t=\frac{2π}{3{ω}_{0}}$
  由于转动方向与射出孔不确定，讨论如下：
ⅰ．当圆筒顺时针转动时，设筒转动的角速度变为ω₁，
  若从N点离开，则筒转动时间满足$t=\frac{\frac{π}{3}+2kπ}{{ω}_{1}}$，得：${ω}_{1}=\frac{（6k+1）}{2}{ω}_{0}$其中k=0，1，2，3…
  若从M点离开，则筒转动时间满足$t=\frac{\frac{π}{3}+（2k+1）π}{{ω}_{1}}$，得：${ω}_{1}=\frac{（6k+4）}{2}{ω}_{0}$其中k=0，1，2，3…；
    综上可得${ω}_{1}=\frac{（3n+1）}{2}{ω}_{0}$其中n=0，1，2，3…
ⅱ．当圆筒逆时针转动时，设筒转动的角速度变为ω₂，
  若从M点离开，则筒转动时间满足$t=\frac{\frac{2π}{3}+2kπ}{{ω}_{2}}$，得：${ω}_{2}=\frac{（3•2k+2）}{2}{ω}_{0}$  其中k=0，1，2，3…
  若从N点离开，则筒转动时间满足$t=\frac{\frac{2π}{3}+（2k+1）π}{{ω}_{2}}$，得：${ω}_{2}=\frac{[3（2k+1）+2]}{{ω}_{0}}$其中k=0，1，2，3…
     综上可得${ω}_{2}=\frac{3n+2}{2}{ω}_{0}$其中n=0，1，2，3…
  综上所述，圆筒角速度大小应为${ω}_{1}=\frac{3n+1}{2}{ω}_{0}$   或者${ω}_{2}=\frac{3n+2}{2}{ω}_{0}$其中n=0，1，2，3…
答：（1）若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，该粒子的荷质比为$\frac{{ω}_{0}}{B}$，速率分别是ω₀R．
（2）若粒子速率不变，入射方向在该截面内且与MN方向成30°角，则要让粒子与圆筒无碰撞地离开圆筒，圆筒角速度应为${ω}_{1}=\frac{3n+1}{2}{ω}_{0}$  （顺时针转动）或${ω}_{2}=\frac{3n+2}{2}{ω}_{0}$  （逆时针转动）  其中n=0，1，2，3…．

点评 本题的难点在于第二问的多解，基本等量关系是时间相等，但要注意的是从从M点射入的、穿出点可能是N点也可能是M点哪里穿出，所以分两种情况进行分析；还要注意的一点是多解问题，可能是转过k圈后再从M或N点穿出，这也必须考虑到．