Question

如图所示，足够长的两根光滑导轨相距0.5m竖直平行放置，导轨电阻不计，下端连接阻值为1Ω的电阻R，导轨处在匀强磁场B中，磁场的方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度为0.8T．两根质量均为0.04kg、电阻均为0.5Ω的水平金属棒ab、cd都与导轨接触良好，金属棒a6用一根细绳悬挂，细绳允许承受的最大拉力为0.64N．现让cd棒从静止开始落下，直至细绳刚好被拉断，在此过程中电阻R上产生的热量为0.2J，g取10m/s²，求：
（1）此过程中ab棒和cd棒分别产生的热量Qab和Qcd；
（2）细绳刚被拉断时，cd棒的速度；
（3）细绳刚被拉断时，cd棒下落的高度．
（4）cd棒从静止开始落下直至细绳刚好被拉断所经过的时间．

Answer 1

分析：（1）根据串并联电路的特点分析通过ab棒和cd棒的电流与通过R的电流关系，由焦耳定律求解ab棒和cd棒分别产生的热量Q_ab和Q_cd；
（2）细绳刚好被拉断时，拉力恰好等于最大拉力0.64N，由平衡条件和安培力公式求出ab棒中的电流，根据欧姆定律求出cd棒产生的感应电动势，由E=BLv求出速度．
（3）cd棒下落过程中，重力势能减小转化为自身的动能和电路中的内能，根据能量守恒定律列式求出cd棒下落的高度．
（4）根据牛顿第二定律列式，利用积分法求出时间．

解答：解：（1）由题，电路中电阻分别为R_ab=R_cd=0.5Ω，R=1Ω，根据串并联电路的特点分析得知，通过它们的电流关系为：I_cd=3I_R，I_ab=2I_R，由焦耳定律得：
   Q_ab=2Q_R=0.4J，Q_cd=

9

4

Qab=0.9J
（2）外电路总电阻为R′=R_cd+

RRab

R+Rab

=

5

6

Ω
细绳刚好被拉断时，拉力恰好等于最大拉力0.64N，由平衡条件和安培力公式得
   T-mg=BI_abL
代入解得，I_ab=0.6A，则I_R=0.3A，I_cd=0.9A，
cd产生的感应电动势为  E=I_cdR′=0.75V
由E=BLv得，v=

E

BL

=1.875m/s
（3）根据能量守恒定律得
mgh=

1

2

mv2+QR+Qab+Qcd
代入解得，h=3.93m
（4）根据牛顿第二定律得：
对cd棒：mg-

B2L2v

R′

=ma=m

△v

△t

得，mg△t-

B2L2v

R′

△t=m△v
两边求和得
    （mg△t）-（

B2L2v

R′

△t）=（m△v）
即有  mgt-

B2L2

R′

（v△t）=mv
又v△t=△x=h
联立解得，t≈2.1s
答：
（1）此过程中ab棒和cd棒分别产生的热量Qab和Qcd分别为0.4J和0.9J．
（2）细绳刚被拉断时，cd棒的速度为1.875m/s．
（3）细绳刚被拉断时，cd棒下落的高度为3.93m．
（4）cd棒从静止开始落下直至细绳刚好被拉断所经过的时间为2.1s．

点评：本题电磁感应与电路、力学知识的综合，难点在于运用积分求棒下落的时间，这种方法对于非匀变速运动经常用到，往往从牛顿第二定律入手列式求解．