Question

如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为+Q和-Q （Q＞0），半径分别为R和

R

2

，小球面与大球面内切于C点，两球面球心O和O’的连线MN沿竖直方在MN与两球面的交点B、0和C 处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计，有一质量为m，带电荷为q（q＞0的质点自MN线上离B点距离为R的A点竖直上抛．设静电力常量为k，重力加度为g．
（1）要使质点从 A 点上抛后能够到达B点，所需的最小初动能为多少？
（2）要使质点从A点上抛后能够到达O点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少？

Answer 1

分析：（1）质点在A→B应作减速运动，当初动能最小时，到达B点的速度为零，根据能量守恒定律求出所需的最小初动能．
（2）质点在B→0的运动有三种可能情况，①质点在B→O作加速运动，对应条件为：mg≤

4kqQ

9R2

；②质点在B→O做减速运动，对应条件为：mg≥

4kqQ

R2

，质点在B→O之间存在一个平衡点D，在B→D质点做减速运动，在D→O做加速运动，对应的条件为：

4kqQ

9R2

＜mg＜

4kqQ

R2

，结合能量守恒定律求出不同条件下所需的最小初动能．

解答：解：（1）质点在A→B应作减速运动．设质点在A点的最小初动能为E_k0，则根据能量守恒得，可得质点刚好能达到B点的条件为：

kqQ

R

-

kqQ

3R 2

+mgR=Ek0+

kqQ

2R

-

kqQ

5R 2

    ①
由此可得Ek0=mgR+

7kqQ

30R

．        ②
（2）质点在B→0的运动有三种可能情况：
①质点在B→O作加速运动（参看图1），对应条件为：
mg≤

4kqQ

9R2

                ③
此时只要质点能过B点，也必然能到达O点，因此质点能到达O点所需的最小动能由②式给出，即
Ek0=mgR+

7kqQ

30R

．     ④
若③式中取等号，则最小初动能比④式给出的E_k0略大一点．
②质点在B→O做减速运动（参看图1），对应条件为：
mg≥

4kqQ

R2

  ⑤
此时质点刚好能到达O点的条件为：

kqQ

R

-

kqQ

R 2

+mg(2R)=Ek0+

kqQ

2R

-

kqQ

5R 2

     ⑥
由此可得Ek0=2mgR-

11kqQ

10R

   ⑦
③质点在B→O之间存在一个平衡点D，（参看图2），在B→D质点做减速运动，在D→O做加速运动，对应的条件为：

4kqQ

9R2

＜mg＜

4kqQ

R2

    ⑧
设D到O点的距离为x，则：
mg=

kqQ

( R 2 +x)2

                ⑨
即x=

kqQ mg

-

R

2

                 ⑩
根据能量守恒，质点刚好能到达D点的条件为：

kqQ

R

-

kqQ

( R 2 +x)

+mg(2R-x)=Ek0+

kqQ

2R

-

kqQ

5R 2

     （11）
由⑩（11）两式可得质点到达D点的最小初动能为Ek0=

5

2

mgR+

9kqQ

10R

-2

kgmqQ

．
只要质点能通过D点也必然能到达O点，所以质点能到达O点的最小初动能也就是（12）式（严格讲应比（12）式给出的E_k0略大一点．）
答：（1）要使质点从 A 点上抛后能够到达B点，所需的最小初动能为Ek0=mgR+

7kqQ

30R

．
（2）当mg≤

4kqQ

9R2

，最小初动能为Ek0=mgR+

7kqQ

30R

；当mg≥

4kqQ

R2

，最小初动能为Ek0=2mgR-

11kqQ

10R

当

4kqQ

9R2

＜mg＜

4kqQ

R2

，最小初动能为Ek0=

5

2

mgR+

9kqQ

10R

-2

kgmqQ

．

点评：解决本题的关键知道带电球面的电荷量可以等效到圆心，结合能量守恒定律进行求解，注意第二问中需分情况讨论．