Question

（2007?南京一模）在光滑绝缘的水平台面上，存在平行于水平面向右的匀强电场，电场强度为E．水平台面上放置两个静止的小球A和B（均可看作质点），两小球质量均为m，A球带电荷量为+Q，B球不带电，A、B连线与电场线平行．开始时两球相距L，在电场力作用下，A球开始运动（此时为计时零点，即t=0），后与B球发生对心碰撞，碰撞过程中A、B两球总动能无损失．设在各次碰撞过程中，A、B两球间无电量转移，且不考虑两球碰撞时间及两球间的万有引力．
（1）第一次碰撞结束瞬间A、B两球的速度各为多大？
（2）分别在甲、乙坐标系中，用实线作出A、B两球从计时零点到即将发生第三次碰撞这段过程中的v-t图象．要求写出必要的演算推理过程．
（3）从计时零点到即将发生第三次碰撞这段过程中电场力共做了多少功？
（4）若要求A在运动过程中对桌面始终无压力且刚好不离开水平桌面（v=0时刻除外），可以在水平面内加一与电场正交的磁场．请写出磁场B_（t）与时间t的函数关系．（不考虑相对论效应）

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律和运动学公式求出A球与B球碰撞前的速度，抓住质量相等小球发生弹性碰撞，速度交换求出碰后小球A、B的速度．
（2）碰撞后A、B两球交换速度，A球先做匀加速直线运动，碰撞后速度为零，又开始做匀加速直线运动，与B球碰撞后交换速度，以B球的速度做匀加速直线运动．
对于B球，开始静止，碰撞后交换速度，交换速度后做匀速直线运动．
（3）通过牛顿定律结合运动学公式求出第三次碰撞后A、B的速度，结合能量守恒求出电场力做的功．
（4）抓住重力和洛伦兹力平衡，根据速度的变化，得出洛伦兹力的变化，求出磁感应强度关于时间的通项式．

解答：解：（1）A球的加速度a=

QE

m

                                         
碰前A的速度vA1=

2aL

=

2QEL m

，碰前B的速度v_B1=0．
A、B碰撞后交换速度，设碰后A、B球速度分别为v_A1′、v_B1′
v_A1′=0      vB1′=vA1=

2QEL m

                   
（2）A、B球发生第一次、第二次、第三次的碰撞时刻分别为t₁、t₂、t₃．
则 t1=

vA1-0

a

=

2mL QE

第一次碰后，经t₂-t₁时间A、B两球发生第二次碰撞，设碰前瞬间A、B两球速度分别为v_A2和v_B2
vB1′(t2-t1)=

1

2

a(t2-t1)2     得：t₂=3t₁
v_A2=a（t₂-t₁）=2at₁=2v_A1=2

2QEL m

     vB2=vB1′=

2QEL m

 
第二次碰后瞬间，A、B两球速度分别为v_A2′和v_B2′，经t₃-t₂时间A、B两球发生第三次碰撞，并设碰前瞬间A、B两球速度分别为v_A3和v_B3
则 vA2′=vB2=

2QEL m

       vB2′=vA2=2

2QEL m

 
当v_B2′（t₃-t₂）=v_A2′（t₃-t₂）+

1

2

a(t3-t2)2 发生第三次碰撞，易得t₃-t₂=t₂-t₁  
vA3=vA2′+a(t3-t2)=3

2QEL m

      vB3=vB2′=2

2QEL m

（3）由（2）问中所求的物理量，得
W电=(

1

2

mvA32+

1

2

mvB32)-0=13QEL．
（4）对A球由平衡条件得 BQv_A=mg       B=

mg

QvA

且a=

QE

m

．   解得
从A开始运动到发生第一次碰撞 B(i)=

mg

Qat

=

m2g

Q2Et

   0＜t≤

2mL QE

从第一次碰撞到发生第二次碰撞B(i)=

m2g

Q2E(t- 2mL QE )

从第二次碰撞到发生第三次碰撞B(i)=

m2g

Q2E(t-2 2mL QE )

    3

2mL QE

≤t≤5

2mL QE

从第三次碰撞到发生第四次碰撞B(i)=

m2g

Q2E(t-3 2mL QE )

    5

2mL QE

≤t≤7

2mL QE

以此类推，从第n次碰撞到发生第n+1次碰撞
B(i)=

m2g

Q2E(t-n 2mL QE )

(2n-1)

2mL QE

≤t≤(2n+1)

2mL QE

  （n=1，2，3，4…..）
答：（1）第一次碰撞结束瞬间A、B两球的速度各为0，

2QEL m

．
（2）如图所示．
（3）从计时零点到即将发生第三次碰撞这段过程中电场力共做了13QEL．的功．
（4）磁场B_（t）与时间t的函数关系B(i)=

m2g

Q2E(t-n 2mL QE )

，(2n-1)

2mL QE

≤t≤(2n+1)

2mL QE

（n=1，2，3，4…..）．

点评：解决本题的关键知道质量相等的小球发生弹性碰撞，速度交换，以及知道两球在整个过程中的运动情况，找出规律，结合牛顿第二定律、能量守恒定律和运动学公式进行求解．