Question

在某平面上有一半径为R的圆形区域，区域内外均有垂直于该平面的匀强磁场，圆外磁场范围足够大，已知两部分磁场方向相反且磁感应强度都为B，方向如图所示．现在圆形区域的边界上的A点有一个电量为q，质量为m的带电粒子以沿半径且垂直于磁场方向向圆外的速度经过该圆形边界，已知该粒子只受到磁场对它的作用力．
（1）若粒子在其与圆心O连线旋转一周时恰好能回到A点，试求该粒子运动速度V的可能值．
（2）在粒子恰能回到A点的情况下，求该粒子回到A点所需的最短时间．

Answer 1

分析：（1）离子进入磁场中，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求出轨道半径r；
（2）画出离子运动的轨迹，由几何知识求出轨迹的半径，即可求出离子的运动速度v；
（3）粒子穿越圆形边界的次数越少，所需时间就越短，根据上题中结论，求出粒子在圆形区域内运动的圆弧的圆心角，即可求出离子回到A点所需的最短时间t．

解答：解：（1）粒子运动的半径为r
BqV=m

V2

r

r=

mV

Bq

…①
如图，O₁为粒子运动的第一段圆弧AB的圆心，
O₂为粒子运动的第二段圆弧BC的圆心，
根据几何关系可知
tanθ=

r

R

…②
∠AOB=∠BOC=2θ
如果粒子回到A点，则必有
n˙2θ=2π，n取正整数…③
由①②③可得
V=

BqR

m

tan

π

n

考虑到θ为锐角，即0＜θ＜

π

2

，根据③可得．
n≥3 
故V=

BqR

m

tan

π

n

，（n=3，4，5…）     
（2）粒子做圆周运动的周期
T=

2πm

Bq

因为粒子每次在圆形区域外运动的时间和圆形区域内运动的时间互补为一个周期T，所以粒子穿越圆形边界的次数越少，所花时间就越短，因此取n=3
代入到③可得：θ=

π

3

而粒子在圆形区域外运动的圆弧的圆心角为α
α=2π-2（

π

2

-θ）=

5

3

π
故所求的粒子回到A点的最短运动时间
t=T+

α

2π

T=

11πm

3Bq

答：（1）若粒子在其与圆心O连线旋转一周时恰好能回到A点，试求该粒子运动速度V的可能值V=

BqR

m

tan

π

n

，（n=3，4，5…）．
（2）在粒子恰能回到A点的情况下，求该粒子回到A点所需的最短时间为

11πm

3Bq

．

点评：本题中离子做周期性的运动，画出轨迹，由几何知识求解轨道半径是解题的关键．