Question

（2013?浦东新区一模）如图（a）所示，倾角为θ的平行金属轨道AN和A′N′间距为L，与绝缘光滑曲面在NN′处用平滑圆弧相连接，金属轨道的NN′和MM′区间处于与轨道面垂直的匀强磁场中，轨道顶端接有定值电阻R和电压传感器，不计金属轨道电阻和一切摩擦，PP′是质量为m、电阻为r的金属棒．现开启电压传感器，将该金属棒从斜面上高H处静止释放，测得初始一段时间内的U-t（电压与时间关系）图象如图（b）所示（图中U_o为已知）．求：
（1）t₃-t₄时间内金属棒所受安培力的大小和方向；
（2）t₃时刻金属轨道的速度大小；
（3）t₁-t₄时间内电阻R产生的总热能Q_R；
（4）在图（c）中定性画出t₄时刻以后可能出现的两种典型的U-t关系大致图象．

Answer 1

分析：（1）t₃-t₄时间内金属棒的运动必为从MM^′到NN^′返回，有受力平衡判断安培力大小和方向
（2）由安培力大小结合法拉第电磁感应定律和欧姆定律和安培力表达式，可得速度
（3）t₄时刻棒NN^′位置，由能量守恒可得电阻R产生的总热能Q_R；
（4）再次产生电磁感应时，金属棒切割速度减小，电动势减小，也有可能不会再次达到MM^′位置

解答：解：（1）金属棒匀速运动，由平衡条件得，
F_A=mgsinθ，①
方向：沿金属轨道平面斜向上．
（2）在t₃时刻，金属棒平衡，故
mgsinθ=B

Uo

R

L②
所以，B=

mgRsinθ

U0L

③
设金属棒速度为v₂，则有，Uo=

v2BL

R+r

R④
即，v2=Uo

R+r

BLR

=Uo

R+r

mgRsinθ U0L LR

=

U 2 o (R+r)

mgR2sinθ

⑤
（3）对于金属棒从开始到t₄时间内，由能量守恒得损失的总能量为，
△E=mgH-

1

2

mv

2 2

⑥
而△E=Q_r+Q_R⑦
又有，

QR

Qr

=

R

r

⑧
由⑤⑥⑦⑧得，Q_R=

mgH- 1 2 m【 U 2 0 (R+r) mgR2sinθ 】2

R+r

R
（4）
答：（1）t₃-t₄时间内金属棒所受安培力的大小mgsinθ，方向沿斜面向上
（2）t₃时刻金属轨道的速度大小

U 2 0 (R+r)

mgR2sinθ

（3））t₁-t₄时间内电阻R产生的总热能Q_R=

mgH- 1 2 m【 U 2 0 (R+r) mgR2sinθ 】2

R+r

R
（4）

点评：本题情景较为复杂，涉及运算量较大，物理知识较为繁杂（法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力、能量守恒定律等），难度较大