Question

如图所示为一种获得高能粒子的装置--环形加速器．环形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小可调节．质量为m、电量为+q的粒子可在环中做匀速圆周运动．P、Q为相距很近的两块中心开有小孔的极板，最初两极板电势都为零，每当粒子飞至P板时，P板电势变为+U，Q板电势仍保持为零，每当粒子离开Q板时，P板电势立即变为零．粒子在P、Q两板间电场的一次次加速下动能不断增大，而粒子的绕行半径通过磁场的调节保持为R不变．粒子经过P、Q极板的时间极短，可忽略不计．设t=0时刻，粒子静止在P板小孔处，在电场作用下加速，并绕行第一圈．
（1）为使粒子始终在半径为R的圆轨道上运动，磁场必须周期性递增．求粒子从t=0时刻起绕行第n圈时的磁感应强度B_n；
（2）求粒子从t=0时刻起绕行n圈回到P板所需的总时间t_n．

Answer 1

分析：（1）由电场力做导致粒子的动能增加，结合动能定理，可求出n圈后的速度，再根据牛顿第二定律与向心力公式，即可求解；
（2）根据第n圈所需时间，结合数学通项式，即可求解．

解答：解：（1）粒子绕行n圈获得的动能等于电场力对粒子做的功，设粒子绕行n圈获得的速度为v_n，
根据动能定理，
则有：nqU=

1

2

m

v

2 n

解得：vn=

2nqU m

粒子在环形区域磁场中，受洛伦兹力作用做半径为R的匀速圆周运动，
根据牛顿第二定律和向心力公式，
则有：qvnBn=m

v 2 n

R

解得：Bn=

mvn

qR

=

1

R

2nmU q

（2）粒子绕行第n圈所需时间Tn=

2πR

vn

=2πR

m 2qU

?

1

n

粒子绕行n圈所需总时间为tn=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)．
答：（1）粒子从t=0时刻起绕行第n圈时的磁感应强度得：Bn=

mvn

qR

=

1

R

2nmU q

；
（2）粒子从t=0时刻起绕行n圈回到P板所需的总时间为tn=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)．

点评：考查粒子在电场力作用下，电场力做功从而获得动能，掌握动能定理、牛顿第二定律与向心力公式的应用，掌握粒子做匀速圆周运动的周期公式，及运用数学的通项式．