Question

如图，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R=0.2m的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=5.0×10³V/m．一不带电的绝缘小球甲，以速度v₀沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞．  已知甲、乙两球的质量均为m=1.0×10^-2kg，乙所带电荷量q=2.0×10^-5C，g取10m/s²．（水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移）
（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离x的大小；
（2）在满足（1）的条件下，求甲的速度v₀的大小；
（3）若甲仍以速度v₀向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离的最大值x_m的大小．

Answer 1

分析：本题（1）的关键是根据弹性碰撞规律得出甲、乙两球速度交换，然后再根据恰好通过D点时满足的表达式，并结合类平抛规律即可求解；（2）题的关键是对乙球利用动能定理即可求解；（3）题的关键是根据弹性碰撞结论得出乙球获得的速度为2

v

0

，然后结合动能定理、类平抛规律联立即可求解．

解答：解：（1）因甲和乙质量相等，且发生弹性碰撞，所以甲和乙碰完瞬间，甲停在B处，乙以初速度v₀进入半圆，在D点时应有：Eq+mg=

mv 2 D

R

 
小球下落过程由类平抛规律：
 x=

v

D

t

1

，2R=

at 2 1

2

，又 a=

Eq+mg

m

联立以上各式解得：x=0.4m，v_D=2m/s，t=0.2s
故乙在轨道上的首次落点到B点的距离x的大小为0.4m．
（2）由动能定理可得-（Eq+mg）?2R=

mv 2 D

2

-

mv 2 0

2

，解得

v

0

=2

5

m/s
故在满足（1）的条件下，甲的速度

v

0

的大小为2

5

m/s．
（3）根据弹性碰撞规律可知，碰后乙球的速度

v

B

=

2m   A v   0

m   A +m

＜

2v

0

，所以

v

B

的最大值为

v

m

=4

5

m/s①
由动能定理及类平抛规律：
-（qE+mg）.2R=

1

2

mv

2 D

-

1

2

mv

2 m

②
2R=

1

2

at

2

，a

qE+mg

m

③

x

m

=

v

D

t④
联立①②③④解得

x

m

=1.6m
故乙在轨道上的首次落点到B点的距离的最大值

x

m

为1.6m．

点评：熟记弹性碰撞的规律及结论，掌握物体完成圆周运动的临界条件、类平抛规律以及动能定理的综合运用．