Question

物体做圆周运动时，所需的向心力F_需由运动情况决定，提供的向心力F_供由受力情况决定．若某时刻F_需=F_供，则物体能做圆周运动；若F_需＞F_供，物体将做离心运动；若F_需＜F_供，物体将做向心运动．现有一根长L=1m的不计伸长的轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m=0.5kg的小球（可视为质点），将小球提至正上方的A 点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示．不计空气阻力，g取10m/s²，则：
（1）为使小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应施加给小球多大的水平速度？
（2）若将小球以速度v₁=5m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为多大？
（3）若将小球以速度v₂=3m/s水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小？若无张力，试求从抛出小球到绳子再次伸直时所经历的时间？

Answer 1

分析：（1）小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时至少应该是重力作为所需要的向心力，由重力作为向心力可以求得最小的速度；
（2）根据第一问的判断可以知道v₁＞V₀，故绳中有张力，由向心力的公式可以求得绳的拉力的大小；
（3）由于v₂＜V₀，故绳中没有张力，小球将做平抛运动，根据平抛运动的规律可以求得运动的时间．

解答：解：（1）在最高点，当重力提供向心力时，速度最小，则有：mg=m

v02

L

解得：v0=

gL

=

10×1

=

10

m/s  
（2）因为v₁＞v₀，故绳中有张力
根据牛顿第二定律，有：T+mg=m

v12

L

代入数据解得，绳中张力为：T=0.5×

25

1

-5=7.5N    
（3）因为v₂＜v₀，故绳中无张力，小球将做平抛运动
如图：L²=（y-L）²+x²
x=v₂t
y=

1

2

gt2…
解得：t=

2

g

gL-v22

=

2

10

10×1-9

=0.2s  
答：（1）为使小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应施加给小球多大的水平速度为

10

m/s；
（2）若将小球以速度v₁=5m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为7.5N；
（3）若将小球以速度v₂=3m/s水平抛出的瞬间，绳中无张力，从抛出小球到绳子再次伸直时所经历的时间为0.2s．

点评：要使小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时至少应该是重力作为所需要的向心力，这是本题中的一个临界条件，与此时的物体的速度相对比，可以判断物体能否做圆周运动，进而再根据不同的运动的规律来分析解决问题，本题能够很好地考查学生的分析解决问题的能力，是道好题．