Question

如图所示，竖直平面内有一粗糙的圆弧圆管轨道，其半径为R=0.5m，内径很小．平台高h=1.9m，一质量m=0.5kg、直径略小于圆管内径的小球，从平台边缘的A处水平射出，恰能沿圆管轨道上P点的切线方向进入圆管内，轨道半径OP与竖直线的夹角为37°．g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．不计空气阻力．求：
（1）小球从平台上的A点射出时的速度v₀是多大？
（2）小球通过最高点Q时，圆管轨道对小球向下的压力F_Q=3N，小球在圆管轨道中运动时克服阻力所做的功W是多少？

Answer 1

（1）设小球抛出后做平抛运动至P，
竖直位移y=h-R（1-cos37°）
由y=

1

2

gt²
知平抛用时t=

2y g

=0.6s
小球达P点竖直速度小球达P点竖直速度v_y=gt=6m/s
小球恰沿P点切线方向进入圆管，由速度关系：
tanθ=

vy

vx

小球从平台上的A点射出时的速度v₀=

vy

tan37°

=8m/s；
（2）小球在P点速度v_p=

v 20 + v 2y

=10m/s
小球在圆周Q点，由牛顿第二定律：
mg+F_Q=m

v 2Q

R

小球由P运动到Q过程，上升高度H=R+Rcos37°=0.9m
由动能定理：
-mgH-W=

1

2

m

v

2Q

-

1

2

m

v

2p

联立解得，小球在圆管轨道中运动时克服阻力所做的功
W=18.5J．
答：（1）小球从平台上的A点射出时的速度v₀是8m/s；
（2）小球在圆管轨道中运动时克服阻力所做的功W是18.5J．