Question

质量为M=3.0kg的平板小车静止在光滑水平面上，车长L=4.0m，如图15所示．当t=0时，两个质量都是m=1.0kg的小物体A和B，分别从左端和右端以水平速度v₁=4.0m/s和v₂=2.0m/s冲上小车，当它们在车上相碰后立刻结合在一起．已知A、B与车面的动摩擦因数都是μ=0.20，g取10m/s²，求：
（1）A、B相对车停止滑动时车的速度．
（2）A、B相对车停止滑动时在车上的位置．
（3）在0至4.0s内小车的位移．

Answer 1

分析：（1）对A、B、C组成的系统，运用动量守恒定律求出相对静止时的速度大小．
（2）由于A、B质量相同，因此对车的压力相等，所以A、B未碰撞时所受合力为零，车保持不动，根据牛顿第二定律和运动学公式求出A、B相碰前的速度和位移，根据动量守恒定律求出碰后的共同速度，再对整体分析，运用动量守恒定律和能量守恒定律求出AB在小车上相对运动的位移，从而得出A、B相对车停止滑动时在车上的位置．
（3）分析出小车在0-4s内的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式求出小车的位移．

解答：解：（1）由题意可知，A、B、C看作是一个系统，在水平方向上动量是守恒的，当A、B相对于车停止时三者具有相同的速度，以A初速的方向为正有：
mv₁-mv₂=（M+2m）v
得：v=

mv1-mv2

M+2m

=

4-2

5

m/s=0.4m/s
（2）由于A、B质量相同，因此对车的压力相等，所以A、B未碰撞时所受合力为零，车保持不动，所以A、B在车上相碰时，A、B距左端的距离为S₁，有：S1=v1t-

1

2

aAt2…①
L-S1=v2t-

1

2

aBt2…②
又 aA=aB=μg=2m/s2
所以：L=(v1+v2)t-μgt2
所以：4=6t-2t²
t=1s 或 t=2s （舍去）
因此：AB相碰时离小车的左端，有：S1=v1t-

1

2

aAt2=4-

1

2

×2×12m=3 m
此时A、B的速度为v'₁、v'₂，由运动学公式：

v

′ 1

=v1-at=4-2×1m/s=2 m/s

v

′ 2

=v2-at=2-2×1m/s=0
碰撞时动量守恒，设碰后A、B的共同速度为v_AB，则有：m

v

′ 1

=2mvAB
所以有：v_AB=1m/s
AB相碰后，由动量守恒得：2mv_AB=（2m+M）v，解得：v=0.4m/s．
设达到共同速度时，AB与小车发生的相对位移为△S，此过程中系统的动能减少量：2mgμ△S=

1

2

(2m)

v

2 AB

-

1

2

(2m+M)v2=

mM

2m+M

v

2 AB

所以有：△S=

M

2(2m+M)gμ

v

2 AB

=

3

2(2×1+3)×0.2×10

×12m=0.15 m
AB相对车左端的位移S为：S=S₁+△S=3+0.15m=3.15 m
（3）由于小车前1秒钟保持静止．
小车匀加速直线运动的时间：t′=

v-vAB

-μg

=

0.4-1

-2

s=0.3 s
C相对地面发生的位移为S_C为：SC=

v

2

t′=

0.4

2

×0.3m=0.06 m
以后做匀速运动，所以小车在0至4.0秒时间内的位移：S_车=S_C+v（4-t-t'）=0.06+0.4×2.7=1.14m．
答：（1）A、B相对车停止滑动时车的速度为0.4m/s．
（2）A、B相对车停止滑动时在车上的位置距小车左端为3.15m．
（3）在0至4.0s内小车的位移为1.14m．

点评：解决本题的关键理清滑块和小车在整个过程中的运动规律，结合动量守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律和运动学公式进行求解．