Question

如图（甲）所示，足够长、电阻可以忽略的矩形金属框架abcd水平放置，ad与bc之间的距离为L=1m，左右两侧各连接一个定值电阻，阻值R₁=R₂=2.0Ω．垂直于框架固定一根质量m=0.2kg、电阻r=1.0Ω的金属棒ef，棒ef距离框架左侧s=0.5m．

（1）若在abfe区域存在竖直向上的均匀增强的匀强磁场，磁感应强度变化率

△B

△t

=0.2T/s，求电阻R₁消耗的电功率．
（2）若金属棒ef处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=2.0T，ef与导轨间的动摩擦因数μ=0.5．现使磁场以加速度a=5m/s²由静止开始向右匀加速运动，同时释放导体棒ef，则需要经过多长时间导体棒ef开始运动？（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，ef始终处于磁场中）
（3）上问中，从磁场开始运动计时起，在0～2s的时间内导体棒运动了7.5m的距离，电路中产生的焦耳热为2.9J（2s前导体棒运动状态已经稳定）．求此过程中，运动磁场给系统提供的能量，并在图（乙）中定性画出导体棒的速度-时间图象．

Answer 1

（1）abfe回路产生的感应电动势为：
E=

△Φ

△t

=

△B

△t

Ls=0.2×1×0.5V=0.1V
总电阻为：R_总=R₁+

R2r

R2+r

=2+

2×1

2+1

=

8

3

Ω，
经过R₁的电流为：I₁=

E

R总

=

0.1

8 3

A=

3

80

A=0.0375A
电阻R₁消耗的电功率为：P₁=I₁²R₁=0.0375²×2W=2.8×10^-3W
（2）导体棒ef刚要开始运动时，安培力与最大静摩擦力大小相等，即：BI_efL=μmg
启动电流：I_ef=

μmg

BL

=

0.5×0.2×10

2×1

A=0.5A
总电阻为：R_总′=r+

R1R2

R1+R2

=1+

2×2

2+2

=2Ω
此时电动势为：E′=I_efR_总′=0.5×2V=1V
而：E′=BLv₁=BLat₁，
解得：t₁=

E′

BLa

=

1

2×1×5

s=0.1s
（3）ef棒开始运动后，水平方向受到两个力的作用，根据牛顿第二定律：
BIL-μmg=ma_ef
即

B2L2

R′总

（at-v_磁）-μmg=ma_ef
因此，棒开始运动后，做加速度增大的加速运动，
当a_ef=a=5m/s后运动状态稳定，磁场、ef棒的速度差值△v保持稳定，
△v=

(μmg+ma)R′总

B2L2

=

(0.5×0.2×10+0.2×5)×2

22×12

m/s=1m/s
2s时ef棒的速度为：v_ef=at-△v=5×2-1=9m/s
ef棒获得动能为：△E_k=

1

2

mv_ef²=

1

2

×0.2×92J=8.1J
2s内摩擦生热为：Q′=μmgs′=0.5×0.2×10×7.5J=7.5J
运动磁场给系统提供的能量为：E_磁=△E_k+Q_磁+Q′=8.1+2.9+7.5=18.5J
速度-时间图象如图所示．
答：（1）电阻R₁消耗的电功率为2.8×10^-3W．
（2）需要经过0.1s时间导体棒ef开始运动．
（3）此过程中，运动磁场给系统提供的能量为18.5J，速度-时间图象如图所示．