云南省师大附中2015届高考数学适应性月考卷 理(扫描版)参考答案
理科数学参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
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题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
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答案 |
C |
D |
D |
C |
C |
B |
A |
A |
B |
B |
A |
D |
[解析]
1．易得
，
，故选C．
2．
，故选D．
3．
，故选D．
4．
，故选C．
5．因为
成等差数列，所以
，即
，所以
，解得
或
(舍去)，所以
，故选C．
6．
；
，故选B．
7．
，故选A．
8．由三视图还原出几何图形如图1，其中正视图由
面看入，
与
平行，
|
，故选A．
9．作出不等式组表示的区域如图2阴影部分所示，由图可知，
过点
时取最大值，
所以
，
，
，故选B．
10．由于
为抛物线
上一个动点，
|
为圆
上一个动点，
那么点到点的距离与点到
轴距离之和的最小值可结合抛物线的定义，到轴距离为到焦点距离减去
，则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和，即为
，故选B．
11．取
外接圆圆心
，连接
的中点即球心
与，由球的性质可知
与平面
垂直，
，在
中，
，
，故
，又
，故
到平面的距离
，因此
，故选A．
12．
故当
取极小值，其极小值为
，
，所以的各极小值之和
，故选D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
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题号 |
13 |
14 |
15 |
16 |
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答案 |
 |
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[解析]
13．
，
．
14．
．
15．
是
上的奇函数，
，则在定义域内为增函数，
可变形为
，
，将其看作关于
的一次函数
，可得当
时，
恒成立，若
，
，若
，
，解得
．
16．令
，则
，
，即这两个函数互为反函数且为增函数，故其有两个交点等价于
与
有两个交点，即函数
有两个零点．由
．
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)由正弦定理，得
，
因为
，解得
． ……………………(4分)
(Ⅱ)由
，得
，
整理，得
． ……………………………………………(6分)
若
，则
，
，
； ………(7分)
若
，则
，
．
由余弦定理，得
，解得
． …………………(9分)
．
……………………………………………(11分)
综上，的面积为
或
． ……………………………………………(12分)
18．(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明：由题条件知，
，
所以
，
． …………………………………(4分)
(Ⅱ)解：
．
．
如图3所示，以为坐标原点，
分别以
为
轴建立空间直角坐标系，
…………………………………………………(5分)
则
|
，
，
设
，
，
……………………………………………………………………………………(6分)
设
是平面
的一个法向量，
则
即
令
，得
， ………………………………………(7分)
又
是平面
的一个法向量，
，
，
， …………………………………………(9分)
，
M到平面ABCD的距离为
，
，
． …………………………(12分)
19．(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．
设此数列为
，则易知
解得
或
，所以此决赛共比赛了4场．
则前3场的比分必为1∶2，且第4场比赛为领先的球队获胜，
其概率为
． ……………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)随机变量X可取的值为
，即150，220，300．
又
，
，
．
…………………………………………………………………………(9分)
分布列如下：
|
X |
150 |
220 |
300 |
|
P |
 |
 |
|
………………………………………………………………………(10分)
所以X的数学期望为
万元． ……………(12分)
20．(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)设椭圆的焦距为
，因为离心率为
，
，所以
，
又点
是抛物线的焦点，
．
所以椭圆C的方程为
． ……………………………………………(4分)
(Ⅱ)因为
，所以四边形
为平行四边形，
当直线
的斜率不存在时，显然不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
与椭圆交于
，
两点，由
．
由
． …………………………………………(6分)
．
…………………………………………(7分)
，
， …………………………………………(9分)
令
，则
，
，
当且仅当
，即
时取等号，
时，平行四边形的面积最大值为2．
此时直线的方程为
． ……………………………………………(12分)
21．(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)
的定义域为
，
，
，
时，
单调递增，
时，
单调递减，
在
处取得极大值
，此极大值也是最大值，
所以要使
恒成立，只需
，
，
∴
的取值范围为
． ………………………………………………………(5分)
(Ⅱ)令
，由(Ⅰ)知，
，
，
， ……………………………………(6分)
则
，
当
即
时，由
得
恒成立，
在上单调递增，
符合题意，所以；……………(7分)
当
时，由得
恒成立，在上单调递减，
，显然不成立，舍去； ……………………………………(8分)
当
时，由
，得
，即
，
则
，
因为，所以
． ……………………………………………(10分)
时，恒成立，
在
上单调递减，，显然不成立，舍去．
综上可得：
．
………………………………………………………(12分)
22．(本小题满分10分)[选修4−1：几何证明选讲]
证明：(Ⅰ)如图4，连接
，则
，
又是
的中点，所以
．
|
，所以
，
所以
．
故
四点共圆． …………………………………………………………(5分)
(Ⅱ)如图4，延长
交圆于点
，
，
，即
，
． ……………………………(10分)
23．(本小题满分10分)[选修4−4：坐标系与参数方程]
解：(Ⅰ)半圆C的普通方程为
，又
，
所以半圆C的极坐标方程是
． …………………………(5分)
(Ⅱ)设
为点P的极坐标，则有
解得
设
为点Q的极坐标，则有
解得
由于
，所以
，所以PQ的长为4．
…………………(10分)
24．(本小题满分10分)[选修4−5：不等式选讲]
证明：(Ⅰ)因为
为正实数，
由均值不等式可得
，即
，
所以
，
而
，所以
．
当且仅当
时，取等号． ……………………………………………(5分)
(Ⅱ)
，
，
当且仅当
时，取等号． ……………………………………………(10分)