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直线与方程

直线与方程参考答案

一参考答案

一、填空题:

1.答案:-2或1    解析:由a+2=,∴a=-2或1.

2.答案:-     解析:设直线的倾斜角为θ,由题意知,cosθ=,θ∈(0,),

sinθ=,ktanθ==.∴与此直线垂直的直线的斜率为-.

3.答案:(-1,2)     解析:由得由x>0,y>0,

得,解得,-1<a<2.     

4.答案:0°<α<135°   解析:由,∴0°<α<135°.

5.答案:[0,]∪[,π)  解析:由直线xcosα+y+2=0,所以直线的斜率为k=-.

设直线的倾斜角为β,则tanβ=-,又因为-≤-≤,即-≤tanβ≤,

所以β∈[0,]∪[,π).

6.答案:(-∞,-3]∪[1,+∞)    解析:由kPA=-3,kPB=1,由图得直线l的斜率k的取

值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).

7.答案:      解析:∵l2l1关于y=-x对称,∴l2的方程为-x=-2y+3,即yx+,

l2的斜率为.

8.答案:4x+y-6=0或3x+2y-7=0    解析:直线l为与MN平行或经过MN的中点的直线,当lMN平行时,斜率为-4,故直线方程为y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0;当l经过MN的中点时,MN的中点为(3,-1),直线l的斜率为-,故直线方程为y-2=-(x-1),

即3x+2y-7=0.

9.答案: 2   解析:分别求P关于直线x+y=4及y轴的对称点,为P1(4,2)、P2(-2,0),由物理知识知,光线所经路程即为=2.

10.答案:x+7y-15=0或7xy-5=0    解析: (1)当斜率不存在时,直线方程为x=1,

与两直线交点A(1,-),B(1,-),∴AB==≠.∴x=1不是所求直线.

(2)当斜率存在时,设为k,则所求直线的方程为y-2=k(x-1),

它与两已知直线分别联立方程组,求出它与两已知直线的交点坐标分别是A(,),

B(,).由AB2=()2+()2=2,得k=7或k=-.

故所求直线的方程为x+7y-15=0或7xy-5=0.

11.答案:2xy+8=0   解析:∵l1l3,∴k1=tanα=2,k2=tan2α==-.

l2的纵截距为-2,∴l2的方程为y=-x-2. 由∴P(-3,2),

l1P点,∴l1的方程为2xy+8=0.

12.答案:2   解析:由两条直线垂直可得:-.=-1,解得a=,

所以ab=.b==b+.又因为b>0,故b+≥2 =2,

当且仅当b=,即b=1时取“=”.

13.答案:(7,10)或(-5,-2) 解析:点C(6,2)到直线xy+3=0的距离为d==,因为点A在直线xy+3=0上,可以验证点B(1,4)也在直线xy+3=0上,所以设A(xy).

又因为直线xy+3=0的倾斜角为45°,所以|AB|==|1-x|,所以三角形面积S=|AB|d=×|1-x|.=21.所以x=7或x=-5.故A点坐标为(7,10)或(-5,-2).

14.答案:  解析:l1k(x-2)-2y+8=0过定点(2,4),l2k2(y-4)=4-2x也过定点(2,4),如图,A(0,4-k),B(2k2+2,0),S=2k24+(4-k+4)2=4k2-k+8. 当k=时,S取得最小值.

二、解答题:

15.解: (1)法一:当sinθ=0时,l1的斜率不存在,l2的斜率为零,l1显然不平行于l2.

当sinθ≠0时,k1=-,k2=-2sinθ,欲使l1l2,只要-=-2sinθ,sinθ=±,

θkπ±,k∈Z,此时两直线截距不相等.∴当θkπ±,k∈Z时,l1l2.

法二:由A1B2A2B1=0,即2sin2θ-1=0,得sin2θ=,∴sinθ=±,由B1C2B2C1≠0,

即1+sinθ≠0,即sinθ≠-1,得θkπ±,k∈Z,∴当θkπ±,k∈Z时,l1l2.

(2)∵l1l2  A1A2+B1B2=0,∴2sinθ+sinθ=0,即sinθ=0,∴θkπ(k∈Z),

∴当θkπ,k∈Z时,l1l2.

16.解:(1)设直线的方程为,则直线与坐标轴的交点为

依题设有,得,则直线的方程为

(2)设直线的方程为,则由,解得

则直线方程为

17.解: (1)若l1l2l3三条直线交于一点.显然m≠4,若m=4,则l1l2.

由,得l1l2的交点坐标为(,).

代入l3的方程得-3m.-4=0.解得m=-1或m=,

∴当m=-1或m=时,l1l2l3交于一点.

(2)若l1l2,则m=4,若l1l3,则m=-,若l2l3,则m∈∅.

(3)若l1l2l3,则m∈∅.

综上知:当m=-1或m=或m=4或m=-时,三条直线不能构成三角形,

即构成三角形的条件是

m∈(-∞,-1)∪(-1,-)∪(-,)∪(,4)∪(4,+∞).

18.解: (1)∵l2:2xy-=0,∴l1l2的距离d==,∵a>0,∴a=3.

(2)设存在点P(x0y0)满足②,则P点在与l1l2平行的直线l′:2xy+c=0上,

且=.,即c=或c=,∴2x0y0+=0或2x0y0+=0,

P点满足条件③,由点到直线的距离公式有: =,

即|2x0y0+3|=|x0+y0-1|.∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0,

P在第一象限,∴3x0+2=0不可能,

联立解得(舍去)  由

得∴  P(,)即为同时满足条件的点.

19.解: (1)证明:直线l的方程是:k(x+2)+(1-y)=0,

令解之得,

∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).

(2)由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-,

y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有,

解之得k>0;

k=0时,直线为y=1,合题意,故k≥0.

(3)由l的方程,得A,B(0,1+2k).依题意得,解得k>0.

∵S=.|OA|.|OB|=..|1+2k|=.=≥(2×2+4)=4,

“=”成立的条件是k>0且4k=,即k=,

∴Smin=4,此时lx-2y+4=0.

20.解: (1)由图知,

设直线的斜率为,直线不能相交,所以

(2)直线的方程为,令

 

,∴

的方程为,此时和BP重合.

(3)由(2)知,点到直线的距离为

 

而函数上是增函数,故当取得最大值时,

取得最小值(最小值也可用基本不等式直接得到).