1.直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是____ __.
2.若直线的倾斜角的余弦值为,则与此直线垂直的直线的斜率为____ __.
3.两条直线ax+y-4=0与x-y-2=0相交于第一象限,则实数a 的取值范围是____ __.
4.设直线l与x轴的交点是P,且倾斜角为α,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为α+45°,则α的取值范围为____ __.
5.直线xcosα+y+2=0的倾斜角的范围是____ __.
6.已知点A(-2,4)、B(4,2),直线l过点P(0,-2)与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值
范围是____ __.
7.已知直线l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=-x对称,则直线l2的斜率为____ __.
8.过点P(1,2)作直线l,使直线l与点M(2,3)和点N(4,-5)距离相等,则直线l的方程为
____ __.
9.如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是____ __.
10.一条直线过点P(1,2)且被两条平行直线4x+3y+1=0和4x+3y+6=0截取的线段长为,求这条直线的方程____ __.
11.设l1的倾斜角为α,α∈(0,),l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转α角得直线l2,l2的纵截距为-2,l2绕P沿逆时针方向旋转-α角得直线l3:x+2y-1=0,则l1的方程为________.
12.已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y=0互相垂直,则ab的最小值等于_______.
13.已知△ABC的两个顶点坐标为B(1,4)、C(6,2),顶点A在直线x-y+3=0上,若△ABC的面积为21.则顶点A的坐标为____ __.
14.已知0<k<4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的k值为____ __.
15.(本小题满分14分)
已知两直线l1:x+ysinθ-1=0和l2:2xsinθ+y+1=0,试求θ的值,使得:(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.
16.(本小题满分14分)
已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为3,分别求满足下列条件的直线的方程:
(1)斜率为的直线;(2)过定点的直线.
17.(本小题满分14分)
已知三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0及l3:2x-3my-4=0,求m的值,使l1,l2,l3三条直线能围成三角形.
18.(本小题满分16分)
已知三直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:-4x+2y+1=0和 l3:x+y-1=0且l1与l2的距离是.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶?若能,求出P点的坐标;若不能,说明理由.
19.(本小题满分16分)
已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S,求S的最小值并求此时直线l的方程.
20.(本小题满分16分)
将一块直角三角板(角)置于直角坐标系中,已知,
点是三角板内一点,现因三角板中部分()受损坏,要把损坏的部分锯掉,可
用经过的任意一直线(M、N可分别与O、B重合)将其锯成.
(1) 求直线的斜率的取值范围;
(2) 若点满足,这样的直线是否存在,如不存在,请说明理由;若存在,求出此时直线的方程;
(3) 如何确定直线的斜率,才能使锯成的的面积最大和最小,并求出最值?
直线与方程参考答案
一参考答案
一、填空题:
1.答案:-2或1 解析:由a+2=,∴a=-2或1.
2.答案:- 解析:设直线的倾斜角为θ,由题意知,cosθ=,θ∈(0,),
∴sinθ=,k=tanθ==.∴与此直线垂直的直线的斜率为-.
3.答案:(-1,2) 解析:由得由x>0,y>0,
得,解得,-1<a<2.
4.答案:0°<α<135° 解析:由,∴0°<α<135°.
5.答案:[0,]∪[,π) 解析:由直线xcosα+y+2=0,所以直线的斜率为k=-.
设直线的倾斜角为β,则tanβ=-,又因为-≤-≤,即-≤tanβ≤,
所以β∈[0,]∪[,π).
6.答案:(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析:由kPA=-3,kPB=1,由图得直线l的斜率k的取
值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).
7.答案: 解析:∵l2、l1关于y=-x对称,∴l2的方程为-x=-2y+3,即y=x+,
∴l2的斜率为.
8.答案:4x+y-6=0或3x+2y-7=0 解析:直线l为与MN平行或经过MN的中点的直线,当l与MN平行时,斜率为-4,故直线方程为y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0;当l经过MN的中点时,MN的中点为(3,-1),直线l的斜率为-,故直线方程为y-2=-(x-1),
即3x+2y-7=0.
9.答案: 2 解析:分别求P关于直线x+y=4及y轴的对称点,为P1(4,2)、P2(-2,0),由物理知识知,光线所经路程即为=2.
10.答案:x+7y-15=0或7x-y-5=0 解析: (1)当斜率不存在时,直线方程为x=1,
与两直线交点A(1,-),B(1,-),∴AB==≠.∴x=1不是所求直线.
(2)当斜率存在时,设为k,则所求直线的方程为y-2=k(x-1),
它与两已知直线分别联立方程组,求出它与两已知直线的交点坐标分别是A(,),
B(,).由AB2=()2+()2=2,得k=7或k=-.
故所求直线的方程为x+7y-15=0或7x-y-5=0.
11.答案:2x-y+8=0 解析:∵l1⊥l3,∴k1=tanα=2,k2=tan2α==-.
∵l2的纵截距为-2,∴l2的方程为y=-x-2. 由∴P(-3,2),
l1过P点,∴l1的方程为2x-y+8=0.
12.答案:2 解析:由两条直线垂直可得:-.=-1,解得a=,
所以ab=.b==b+.又因为b>0,故b+≥2 =2,
当且仅当b=,即b=1时取“=”.
13.答案:(7,10)或(-5,-2) 解析:点C(6,2)到直线x-y+3=0的距离为d==,因为点A在直线x-y+3=0上,可以验证点B(1,4)也在直线x-y+3=0上,所以设A(x,y).
又因为直线x-y+3=0的倾斜角为45°,所以|AB|==|1-x|,所以三角形面积S=|AB|d=×|1-x|.=21.所以x=7或x=-5.故A点坐标为(7,10)或(-5,-2).
14.答案: 解析:l1:k(x-2)-2y+8=0过定点(2,4),l2:k2(y-4)=4-2x也过定点(2,4),如图,A(0,4-k),B(2k2+2,0),S=2k24+(4-k+4)2=4k2-k+8. 当k=时,S取得最小值.
二、解答题:
15.解: (1)法一:当sinθ=0时,l1的斜率不存在,l2的斜率为零,l1显然不平行于l2.
当sinθ≠0时,k1=-,k2=-2sinθ,欲使l1∥l2,只要-=-2sinθ,sinθ=±,
∴θ=kπ±,k∈Z,此时两直线截距不相等.∴当θ=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.
法二:由A1B2-A2B1=0,即2sin2θ-1=0,得sin2θ=,∴sinθ=±,由B1C2-B2C1≠0,
即1+sinθ≠0,即sinθ≠-1,得θ=kπ±,k∈Z,∴当θ=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.
(2)∵l1⊥l2 ∴A1A2+B1B2=0,∴2sinθ+sinθ=0,即sinθ=0,∴θ=kπ(k∈Z),
∴当θ=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.
16.解:(1)设直线的方程为,则直线与坐标轴的交点为、
依题设有,得,则直线的方程为
(2)设直线的方程为,则由,解得或
则直线方程为或即或
17.解: (1)若l1,l2,l3三条直线交于一点.显然m≠4,若m=4,则l1∥l2.
由,得l1,l2的交点坐标为(,).
代入l3的方程得-3m.-4=0.解得m=-1或m=,
∴当m=-1或m=时,l1,l2,l3交于一点.
(2)若l1∥l2,则m=4,若l1∥l3,则m=-,若l2∥l3,则m∈∅.
(3)若l1∥l2∥l3,则m∈∅.
综上知:当m=-1或m=或m=4或m=-时,三条直线不能构成三角形,
即构成三角形的条件是
m∈(-∞,-1)∪(-1,-)∪(-,)∪(,4)∪(4,+∞).
18.解: (1)∵l2:2x-y-=0,∴l1与l2的距离d==,∵a>0,∴a=3.
(2)设存在点P(x0,y0)满足②,则P点在与l1、l2平行的直线l′:2x-y+c=0上,
且=.,即c=或c=,∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0,
若P点满足条件③,由点到直线的距离公式有: =,
即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|.∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0,
∵P在第一象限,∴3x0+2=0不可能,
联立解得(舍去) 由
得∴ P(,)即为同时满足条件的点.
19.解: (1)证明:直线l的方程是:k(x+2)+(1-y)=0,
令解之得,
∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).
(2)由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-,
在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有,
解之得k>0;
当k=0时,直线为y=1,合题意,故k≥0.
(3)由l的方程,得A,B(0,1+2k).依题意得,解得k>0.
∵S=.|OA|.|OB|=..|1+2k|=.=≥(2×2+4)=4,
“=”成立的条件是k>0且4k=,即k=,
∴Smin=4,此时l:x-2y+4=0.
20.解: (1)由图知,,
设直线的斜率为,直线与不能相交,所以,
(2)直线的方程为,令得
令得
∵,∴∴
∴的方程为,此时和BP重合.
(3)由(2)知,点到直线的距离为
而函数在上是增函数,故当取得最大值当时,
取得最小值(最小值也可用基本不等式直接得到).