湖北黄冈中学参考答案

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，集合，则等于(　　　　 )

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

[答案]D

2．下列图象中表示函数图象的是(　　　　 )

A　　　　　　　　　　　　　　　 B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C　　　　　　　　　　　　　　　　　 D

[答案]C

[解析]A、B、D都是一对多，只有C是多对一．

3．若函数　则= (　　　　 )

A．　　　 　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　 D．

[答案]B

[解析]，．

4．已知函数，则函数(　　　　 )

A．是奇函数，且在上是减函数　　　　　　 B．是偶函数，且在上是减函数　　　　　　　　

C．是奇函数，且在上是增函数　　　　　　 D．是偶函数，且在上是增函数

[答案]C

[解析]由可知函数是奇函数，又在上是增函数，在上是减函数，由增函数-减函数=增函数可知在上是增函数．

5．已知集合，集合,则(　　　　 )

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

[答案]B

[解析]由题可知，，，．

6．已知，，，则的大小关系是(　　　　 )

A．　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

[答案]D

[解析]，．

7．函数的零点个数是(　　　　 )

A．个　　　　　　　　　　　 B．个　　　　　　　　　　　　　 C．个　　　　　　　　　　　　　 D．无数个

[答案]B

[解析]作出与的图像，两个函数的图像只有一个交点，所以函数只有一个零点．

8．若函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是(　　　　 )

A．　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　 D．　

[答案]D

[解析]且，解得．

9．下列四个命题：(1) 函数既是奇函数又是偶函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3) 函数在上是增函数，在上也是增函数，所以函数在定义域上是增函数；(4) 若且，则． 其中正确命题的个数是(　　　　　 )

A．　　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　　 　　C．　　　　　　　　　　　　　　　 D．

[答案]A

[解析](1) 是偶函数；(2)若函数与轴没有交点，则只需；(3) 在和上是增函数；(4)只有当时才有．

10．对实数和，定义运算“”：　设函数，，若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是(　　　　 )

A．　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　

C．　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　D．

[答案]B

[解析]由题意可知：即　做出函数的图像，由图像可知B正确．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．，集合，，若，则的值等于_______．

[答案]

[解析]，．

12．函数的定义域是　　　　　　　 ．

[答案]

[解析]由可得： ．

13．函数的单调递增区间是　　　　　　　 ．

[答案]

[解析]要使得函数是增函数，则必须有：且，解得．

14．计算=_______．

[答案]

15．已知函数，定义：使为整数的数叫作企盼数，则在区间内这样的企盼数共有　　　　　　　 个．

[答案]

[解析]依题意有：，令，则，由得，所以，，故所求的企盼数共有2个．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．(本小题满分12分)设，．

(1)写出集合的所有子集；

(2)若非空，求的值．

16．解：(1)由题可知：，所以集合的所有子集是：；

(2)因为非空，①当集合中只有一个元素时，由可知，此时，不符合题意；②当集合中有两个元素时，，所以有；综上可知：．

17．(本小题满分12分)已知函数在上是减函数，求函数在上的最大值与最小值．

17．解：由题意可知，函数的对称轴为．

当时，，=；

当时，，．

18．(本小题满分12分)已知函数，．　　

(1)求函数的定义域；

(2)当时，总有成立，求的取值范围．

18．解：(1)由题意可知：，且，

即，所以函数的定义域是；

(2)由题意可知，设，则有 ；

当时有：，即，则有，则，

故而，；，；

又由题意可得：，．

19．(本小题满分12分)已知函数()．

(1)若函数为奇函数，求的值；

(2)判断函数在上的单调性，并证明．

19．解：(1)函数为奇函数，，即：

，则有：，

即：，，；

(2)任取，且，则

．在上是增函数，且，

，即：．又，，，

即：，故在上是增函数．

20．(本小题满分13分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0．125万元和0．5万元(如图)．

(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；

(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

20．解：(1)设，， 所以 ，，

即，；

(2)设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，

依题意得：，

令，则，

所以当，即万元时，收益最大，万元．

21．(本小题满分14分)已知函数的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①、是定义域中的数时，有；

②是定义域中的一个数)；

③当时，．

(1)判断与之间的关系，并推断函数的奇偶性；

(2)判断函数在上的单调性，并证明；

　 (3)当函数的定义域为时，

①求的值；②求不等式的解集．

21．解：(1)不妨令，则

，是奇函数；

(2)在上任取两个实数，且，则有，

时，，且，

故，即；

，且，，即有；，即，在上是增函数；

(3)由题意可得：，，易证函数在上也是增函数，

在上是增函数；于是有

① 或 ②，

由①得：；由②得：；

所以不等式的解集是．