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难点39  化归思想 化归与转换的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为已知,通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法. ●难点磁场 1.()一条路上共有9个路灯,为了节约用电,拟关闭其中3个,要求两端的路灯不能关闭,任意两个相邻的路灯不能同时关闭,那么关闭路灯的方法总数为      . 2.()已知平面向量a=(–1),b=(). (

难点39  化归思想 化归与转换的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为已知,通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法. ●难点磁场 1.()一条路上共有9个路灯,为了节约用电,拟关闭其中3个,要求两端的路灯不能关闭,任意两个相邻的路灯不能同时关闭,那么关闭路灯的方法总数为      . 2.()已知平面向量a=(–1),b=(). (参考答案

参 考 答 案

●难点磁场

1.解析:9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中,选3个间隔(不包括两端外边的装置)插入关闭的过程故有C=10种

答案:10

2.(1)证明:∵a.b==0,∴ab

(2)解:∵xy,∴x.y=0

即[a+(t2–3)b].(–ka+tb)=0,整理后得

ka2+[tk(t2–3)]a.b+t(t2–3).b2=0

a.b=0,a2=4,b2=1

∴上式化为–4k+t(t2–3)=0,∴k=t(t2–3).

(3)解:讨论方程t(t2–3)–k=0的解的情况,可以看作曲线f(t)=t(t2–3)与直线y=k的交点个数

于是f′(t)=(t2–1)=(t+1)(t–1).

f′(t)=0,解得t1=–1,t2=1.当t变化时,f′(t),f(t)的变化情况如下表:

t
(–∞,–1)
–1
(–1,1)
1
(1,+∞)
f′(t)
+
0

0
+
f(t)

极大值

极小值

t=–1时,f(t)有极大值,f(t)极大值=

t=1时,f(t)有极小值,f(t)极小值=–.

f(t)=(t2–3)t=0时,得t=–,0,.

所以f(t)的图象大致如右:

于是当k>k<–时,直线y=k与曲线y=f(t)仅有一个交点,则方程有一解;

k=k=–时,直线与曲线有两个交点,则方程有两解;当k=0,直线与曲线有三个交点,但kt不同时为零,故此时也有两解;当–<k<0或0<k<时,直线与曲线有三个交点,则方程有三个解

●歼灭难点训练

一、1.解析:分析直线l2的变化特征,化数为形,已知两直线不重合,因此问题应该有两个范围即得解

答案:C

2.解析:化和的比为项的比∵.

,取极限易得

答案:A

二、3.解析:转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率

答案:

4.解析:转化为f′(x)=3x2–3b在(0,1)内与x轴有两交点只须f′(0)<0且f′(1)>0.

答案:0<b<1

三、5.解:(1)原不等式等价于

  ∴x

∴原不等式的解集为{x|x}.

(2)x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立.∴x∈[0,1]时恒成立.即恒成立

x∈[0,1]时,t≥–2x+恒成立,于是转化为求–2x+,x∈[0,1]的最大值问题

μ=,则x=μ2–1,则μ∈[1,].

∴2x+=–2(μ)2+.

μ=1即x=0时,–2x+有最大值1

t的取值范围是t≥1.

6.(1)解:{an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an=f(1)=n2,由an=SnSn–1=n2–(n–1)2=2n–1(n≥2),又a1=S1=1满足an=2n–1.故{an}通项公式为an=2n–1(n∈N*)

(2)证明:∵f()=1.+3.+…+(2n–1)         ①

f()=1.+3.+…+(2n–3)+(2n–1)   ②

①–②得:f()=1.+2.+2.+…+2.–(2n–1).

f()=++++…+–(2n–1)=1–.

 (nN*)

∴0<<1,∴0<1–<1,即0<f()<1

7.解:(1)设ABy=k(x–1)+2代入x2=1.

整理得(2–k2)x2–2k(2–k)x–(2–k)2–2=0       ①

A(x1,y1)、B(x2,y2),x1,x2为方程①的两根

所以2–k2≠0且x1+x2=.又NAB中点,

(x1+x2)=1.∴k(2–k)=2–k2,解得k=1.故ABy=x+1.

(2)解出A(–1,0)、B(3,4)得CD的方程为y=3–x.与双曲线方程联立.消yx2+6x–11=0           ②

C(x3,y3)、D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0)由韦达定理可得x0=–3,y0=6.

∵|CD|=

∴|MC|=|MD|=|CD|=2.

又|MA|=|MB|=.即ABCD四点到点M的距离相等,所以ABCD四点共圆.

8.提示:f′(x)=3x2–3=3(x–1)(x+1)易确定f(–1)=2是极大值,f(1)=–2是极小值.当–2<a<2时有三个相异交点.