练习册

  • 练习册
  • 试题

    内蒙古赤峰二中2009年3月高三统一考试

    数学（理）

     

    本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟．

     

    　　         　  第Ⅰ卷（选择题，共60分）

    一  。选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

     

    1．若（表示虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于

    A．第一象限     B．第二象限      C．第三象限        D．第四象限

    2．设

    A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件  D．不充分也不必要条件

    3 .在各项均为正数的等比数列{}中, 、是方程的两个根，则的值为                        

    A. 32           B. 64           C. 64            D.256

    4．设曲线在点处的切线与直线垂直，则

    A．2                  B．              C．            D．

    5．已知f(sinx+cosx)=tanx（x[0,π]），则f ()等于

       A　.－        B. －        C. ±      D. －或－

    6．一台计算机装置的示意图如图所示，其中、表示数据入口，C是计算结果的出口．计算过程是由、分别输入正整数和，经过计算机运算后由C输出的结果为正整数．此装置满足下列三个性质：①；②；③．现从输入5、输入6，则输出结果的值为

    A．20          B．22    　　   C．24     　 D．26

     

    7．棱长为3的正三棱柱内接于球O中，则球O的表面积为

    A．36              B．21             C．9                D．8

     

    8．已知A、B，以AB为一腰作使∠DAB=直角梯形ABCD，且，CD中点的纵坐标为1．若椭圆以A、B为焦点且经过点D，则此椭圆的方程为

    A．     B．     C．    D．

    9．已知O为直角坐标系原点，P、Q的坐标满足不等式组，则的最小值为（   ）

    A、             B、            C、             D、0

    10 .袋中装有编号从1、2、3、4的四个球，四个人从中各取一个球，则甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率

       A.          B.           C.         D.

    11.如图所示，O、A、B是平面上三点，向量在平面        AOB上，P为线段AB的垂直平分线上任一点，

    向量则?（）值是

       A.       B.5          C.3         D.

    12．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，为的导函数，函数的图像如图所示．若两正数满足，则的取值范围是

    -2

    0

    4

    1

    -1

    1

    A．          B．           C．          D．

    第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

    二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案直接填在题中横线上。

    13．若则

                

    试题详情

    14.直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正切值为        。

    试题详情

    15．已知函数f(x)= 在x=1处连续，则   ___          

    试题详情

    16．给出下列四个结论：

    试题详情

    ①若A、B、C、D是平面内四点，则必有；

    试题详情

    ②“”是“”的充要条件；

    试题详情

    ③如果函数对任意的都满足，则函数是周期函数；

    试题详情

    ④已知点和直线分别是函数图像的一个对称中心和一条对称轴，则的最小值为2；

    其中正确结论的序号是                 ．（填上所有正确结论的序号）．

     

     

    试题详情

    三、解答题：本大题共6个小题．满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题纸的相应位置．

     17．（本小题10分）已知向量＝(1＋cosB，sinB)且与向量=（0，1）所成的角为，其中A、B、C为ΔABC的三个内角。

    试题详情

    （1）求角B的大小；（2）若AC＝，求ΔABC周长的最大值。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    试题详情

    18．（本小题12分）四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=，∠ACB=90°。

    试题详情

    （1）求证：BC⊥平面PAC；

    （2）求二面角D-PC-A的大小的正切值；

    （3）求点B到平面PCD的距离。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    试题详情

    19．（本小题12分）袋中有形状大小完全相同的8个小球，其中红球5个，白球3个。某人逐个从袋中取球，第一次取出一个小球，记下颜色后放回袋中；第二次取出一个小球，记下颜色后，不放回袋中，第三次取出一个小球，记下颜色后，放回袋中，第四次取出一个小球，记下颜色后不放回袋中……，如此进行下去，直到摸完球为止。

    （1）求第四次恰好摸到红球的概率；

    （2）记ξ为前三次摸到红球的个数，写出其分布列，并求其期望Eξ。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    试题详情

    20.（本小题满分12分）

    试题详情

    已知数列满足

    试题详情

    （Ⅰ）求数列的通项公式；

    试题详情

    （Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列；

    试题详情

    （Ⅲ）证明：

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    试题详情

    21．(本小题满分12分)已知双曲线的离心率，过点和的直线与原点间的距离为

    （Ⅰ）求双曲线方程；

    试题详情

    （Ⅱ）直线与双曲线交于不同的两点，且两点都在以为圆心的同一个圆上，求的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    试题详情

    22．（本小题12分）已知函数f(x)＝ax3＋x2－2x＋c，过点，且在（－2，1）内单调递减，在[1，上单调递增。

    （1）证明sinθ=1，并求f(x)的解析式。

    试题详情

    （2）若对于任意的x1，x2∈[m，m＋3]（m≥0），不等式|f(x1)－f(x2)|≤恒成立。试问这样的m是否存在，若存在，请求出m的范围，若不存在，说明理由。

    试题详情

    （3）已知数列{an}中，a1∈，an＋1＝f(an)，求证：an＋1>8?lnan（n∈N*）。

     

    试题详情

    一、选择题：

    1．D  2．A 3  B  4．D 5．A 6．D 7．B 8．C 9．A  10．B  11.A  12.B

    二、填空题：

    13．12          14．    15   3          16．，①②③④    

    三、解答题：

    17．解：法（1）：①∵=(1+cosB，sinB)与=（0，1）所成的角为

    ∴与向量=（1，0）所成的角为                                                   

    ∴，即                                                   （2分）

    而B∈（0，π），∴，∴，∴B=。                               （4分）

    ②令AB=c，BC=a，AC=b

    ∵B=，∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=，∵a，c>0。             （6分）

    ∴a2+c2≥，ac≤     （当且仅当a=c时等号成立）

    ∴12=a2+c2-ac≥                                           （8分）

    ∴(a+c)2≤48，∴a+c≤，∴a+b+c≤+=（当且仅当a=c时取等号）

    故ΔABC的周长的最大值为。                                                          （10分）

    法2：（1）cos<，>=cos

    ∴，                                                                                   （2分）

    即2cos2B+cosB-1=0，∴cosB=或cosB=-1（舍），而B∈（0，π），∴B=     （4分）

    （2）令AB=c，BC=a，AC=b，ΔABC的周长为，则=a+c+

    而a=b?，c=b?                                      （2分）

    ∴==

    =                                （8分）

    ∵A∈（0，），∴A-，

    当且仅当A=时，。                                         （10分）

     18．解法一：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC

    ∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC

    （2）∵AB∥CD，∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，又AD=CD=1

    ∴ΔADC为等边三角形，且AC=1，取AC的中点O，则DO⊥AC，又PA⊥底面ABCD，

    ∴PA⊥DO，∴DO⊥平面PAC，过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH

    由三垂成定理知DH⊥PC，∴∠DHO为二面角D-PC-A的平面角

    由OH=，DO=，∴tan∠DHO==2

    ∴二面角D-PC-A的大小的正切值为2。

    （3）设点B到平面PCD的距离为d，又AB∥平面PCD

    ∴VA-PCD=VP-ACD，即

    ∴  即点B到平面PCD的距离为。

    19．解：（1）第一和第三次取球对第四次无影响，计第四次摸红球为事件A

    ①第二次摸红球，则第四次摸球时袋中有4红球概率为

                                                                                （2分）

    ②第二次摸白球，则第四次摸球时袋中有5红2白，摸红球概率为

                                                                               （3分）

    ∴P(A)=，即第四次恰好摸到红球的概率为。（6分）（注：无文字说明扣一分）

    （2）由题设可知ξ的所有可能取值为：ξ=0，1，2，3。P（ξ=0）=；

    P（ξ=1）=；P（ξ=2）=；

    P（ξ=3）=。故随机变量ξ的分布列为：

    ξ

    0

    1

    2

    （10分）

    P

    ∴Eξ=（个），故Eξ=（个）                                    （1

    20.解：（1），

    故数列是首项为2，公比为2的等比数列。

    ，…………………………………………4分

    （2），

    ①

    ②

    ②―①得，即③

    ④

    ④―③得，即

    所以数列是等差数列……………………9分

    （3）………………………………11分

    设，则

    …………13分

    21．解：（1）设，.

    整理得AB：bx-ay-ab=0与原点距离，又，

    联立上式解得b=1，∴c=2，.∴双曲线方程为.

    （2）设C（x1，y1），D（x2，y2）设CD中点M（x0，y0），

    ∴，∴|AC|=|AD|，∴AM⊥CD.

    联立直线与双曲线的方程得，整理得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，且.

    ∴ ，    ，

    ∴∴，∴AM⊥CD.

    ∴，整理得，

    则且k2>0，，代入中得.

    ∴.

    22．解：（1）∵(x)=3ax2+sinθx-2

    由题设可知：即∴sinθ=1。（2分）

    从而a=，∴f(x)=，而又由f(1)=得，c=

    ∴f(x)=即为所求。                                                     （4分）

    （2）(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)易知f(x)在（-∞，-2）及（1，+∞）上均为增函数，在（-2，1）上为减函数。

    （i）当m>1时，f(x)在[m，m+3]上递增。故f(x)max=f(m+3)，f(x)min=f(m)

    由f(m+3)-f(m)=(m+3)3+(m+3)2-2(m+3)-=3m2+12m+得-5≤m≤1。这与条件矛盾故舍。                                                                             （6分）

    （ii）当0≤m≤1时，f(x)在[m，1]上递减，在[1，m+3]上递增。

    ∴f(x)min=f(1)，f(x)max={f(m)，f(m+3)}max

    又f(m+3)-f(m)=3m2+12m+=3(m+2)2->0（0≤m≤1），∴f(x)max=f(m+3)

    ∴|f(x1)-f(x2)| ≤f(x)max-f(x)min=f(m+3)-f(1) ≤f(4)-f(1)=恒成立

    故当0≤m≤1原式恒成立。                                                                       （8分）

    综上：存在m且m∈[0，1]合乎题意。                                                   （9分）

    （3）∵a1∈(0，1，∴a2∈，故a2>2

    假设n=k（k≥2，k∈N*）时，ak>2。则ak+1=f(ak)>f(2)=8>2

    故对于一切n（n≥2，n∈N*）均有an>2成立。                                    （11分）

    令g(x)=

    得=

    当x∈（0，2）时(x)<0，x∈（2，+∞）时，(x)>0，

    ∴g(x)在x∈[2，+∞时为增函数。

    而g(2)=8-8ln2>0，即当x∈[2，+∞时，g(x)≥g(2)>0恒成立。

    ∴g(an)>0，（n≥2）也恒成立。即：an+1>8lnan（n≥2）恒成立。

    而当n=1时，a2=8，而8lna1≤0，∴a2>8lna1显然成立。

    综上：对一切n∈N*均有an+1>8lnan成立。                             

     

     

     

     


    同步练习册答案